[工程科技]信号与系统第三章 连续信号的正交分解-1.ppt

第三章 连续信号的正交分解 学习目标： （1）掌握周期信号的频谱分析方法，即傅里叶级数法； （2）理解非周期信号频谱密度函数的概念，周期信号与非周期信号的频谱特点及信号时域特性与频域特性之间的关系； （3）掌握利用傅里叶变换的定义、性质求信号的频谱并绘出频谱图； （4）掌握典型信号的频谱密度函数，能运用傅里叶变换的性质对信号进行反变换。 引言 引言 变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号 ，或者说，信号 用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。 信号表示为正交函数集 信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。 ——用分量 来近似代表原矢量 的误差矢量。 例1： 试用正弦函数sint 在区间（0，2 ）内来近似表示此函数，使均方误差最小。 3、用完备正交函数集表示信号 如果用正交函数集 ， ，… 在区间 近似表示函数 方均误差为 若令 趋于无限大， 的极限等于零 则此函数集称为完备正交函数集 纵轴对称（偶函数） 半周重叠（偶谐函数） 1、周期信号f（t）展开为三角傅里叶级数 设f（t）是周期为T的函数 2、周期信号f（t）展开为复指数傅里叶级数 证明： 原点对称（奇函数） 半周镜象对称（奇谐函数） 只含常数和余弦项。 为偶函数； 为奇函数； 为奇函数； 为偶函数； 只含正弦项。 无偶次谐波，只有奇次谐波。 三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系。 无奇次谐波，只有直流(常数)和偶次谐波。 根据周期信号的对称性与傅里叶系数的 关系，可使求解傅里叶系数的计算量大 大减少；也可以确定信号所含的频率分 量的类别；对绘波形图也有作用。 解: 解: 解: 解: * 3.1 引言 信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 将连续信号分解为一系列的正交函数，各正交函数属于一完备的正交函数集。大家所熟悉的正弦函数（ ， ）或虚指数函数（ ） 都是正交函数。 利用傅里叶变换这一数学工具就可将连续信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对周期信号）或积分（对非周期信号）。 一、矢量的分量和矢量的分解 矢量 在矢量 上的分量示意图 图(a)中 3.2 正交函数集与信号分解 图 中 为 在 上的斜投影，可有 无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 时， 都大于 。 结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量 最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。 图(a)中 从几何图上可得： 从解析角度： 则令 也可导出 ——是在最小平方误差的意义上标志着 和 相互近似程度。 例如： 和 相同时， 时， 由图 还可看出， 其中 ， 与 组成一正交矢量。 平面矢量分解图 和 是一组模为1的正交矢量 空间中的矢量分解图 矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为 即 则 二.信号的分量和信号的分解 信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间 内，用函数 在另一 函数 中的分量 来近似的代表 原函数 。 取何值时，得到最佳近似？ 选择误差函数 的方均值为最小。 即 方均值为 求此值最小时的 令 解得 矢量分解 ——是在最小方均误差的意义上代表二函数 和 间的相关联的程度。 称 和 在区间 内为正交，构成 了一个正交函数集。 称 与 正交，组成正交矢量。 1 t 0 1 所以 解： 在区间 内近似为 例2：试用函数 在区间 内近似表示 解： 也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。 2、正交信号空间 设n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足下列正交特性： ——常数 则称此函数集为正交函数集，这n个 构成一个n维正交 信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间 内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近