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第二章 插 值 法 主要知识点 Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式)； 牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质; 埃尔米特(Hermite)插值公式及余项； 等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。 插值问题描述 设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。 多项式插值定义 插值的几何意义 插值唯一性定理 存在唯一性定理证明 存在唯一性定理证明(续) 插值方法 一、解方程组法： 　　类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为 ，将 个节点的函数值代入多项式里，便得到 个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。 二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。 拉格朗日插值公式 拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。 线性插值函数 抛物插值函数 N次插值函数 一次Lagrange插值多项式(1) 已知函数 在点 上的值为 ，要求多项式 ，使 ， 。其几何意义，就是通过两点 的一条直线，如图所示。 一次Lagrange插值多项式(2) 一次Lagrange插值多项式(3) 一次Lagrange插值多项式(4) 记 一次Lagrange插值多项式(5) 一次Lagrange插值多项式(6) 我们称 为点 的一次插值基函数， 为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。 二次Lagrange插值多项式1 线性插值只利用两对值　　及　　求得的 　　近似值，误差较大。 p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。 二次Lagrange插值多项式2 N次插值函数1 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式　　　，而三个插值点可求出二次插值多项式　　。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式　　，如下所示： N次插值多项式问题2 N次插值多项式3 N次插值多项式4 N次插值多项式5 N次插值多项式6 N次插值多项式7 N次插值多项式8 例题分析1 例题分析2 例题分析3 例题分析4 Newton插值 求作n次多项式 使得： 插值问题讨论 Newton插值的承袭性 Newton插值 具有承袭性的插值公式 线性插值公式可以写成如下形式： 其中 ，其修正项的系数 再修正 可以进一步得到拋物插值公式 其中 以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。 差商的概念 差商的概念(续) 差商表 差商形式的插值公式 再考虑拉格朗日插值问题： 问题 求作次数 多项式 ，使满足条件， 利用差商其解亦可表达为如下形式： 这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。 Newton插值 Newton插值(续) 例题分析 例题分析（续1） 例题分析（续2） Hermite插值多项式 Hermite插值多项式（续1） Hermite插值多项式（续2） 简化问题描述 Hermite插值多项式 两点三次Hermit插值 两点三次Hermit插值（续1） 两点三次Hermit插值（续2） 两点三次Hermit插值（续3） 两点三次Hermit插值（续4） 两点三次Hermit插值（续5） 一般的Hermit插值 设在n+1个节点 高次插值的龙格现象 对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数 ,设将区间 分为 等份， 表取 个等分点作节点的插值多项式，