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第二章 连续时间系统的时域分析 本章介绍分析连续时间系统的时域方法。 第二章 连续时间系统的时域分析 基本要求： LTI系统微分方程的经典法求解 自由响应和强迫响应 零输入响应和零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 提高要求：含有冲激激励的微分方程求解 § 2.1 引 言 时域分析方法的特点 不作任何变换 , 直接在时域中进行分析、计算； 直观、物理概念清楚。 系统分析过程 § 2.2 微分方程式的建立与求解 一、微分方程式的建立 例 1 如图所示机械减震系统，物体质量为m，k为弹簧的弹性系数，f 为减震器的阻尼系数，F(t)为施加于物体上的外力， y(t)为物体偏离平衡位置的位移。列写位移量y(t)与外力F(t)之间的微分方程。(提示：弹性力等于ky(t)，阻尼力等于f y ?(t)。) 一、微分方程式的建立（系统建模） 二、微分方程的经典解法：齐次解 + 特解 例 2 已知描述某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为 经典法基本步骤 经典法基本步骤 经典法基本步骤 例 3 已知描述某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为 例 3 已知描述某二阶线性时不变连续时间系统的微分方程为 三. 自由响应和强迫响应 齐次解的形式只取决于系统特性，与外施激励无关。齐次解也称为系统的自由响应。 特征方程的特征根称为系统的固有频率。 特解的形式由外施激励决定，特解也称为系统的强迫响应。 完全解 = 齐次解 + 特解 = 自由响应 + 强迫响应 § 2.3 起始点的跳变——从 0?到 0+状态的转换 一. 0? 状态与 0+ 状态 引例 分析一阶 RC 电路中的 vC(t) 和 vR(t) ，t 0。 引例 分析一阶 RC 电路中的 vC(t) 和 vR(t) ，t 0。 引例 分析一阶 RC 电路中的 vC(t) 和 vR(t) ，t 0。 二. 起始点的跳变 § 2.4 零输入响应和零状态响应 回忆：线性电路中的零输入响应和零状态响应 一、零输入响应 二、零状态响应 例 1 已知某系统的微分方程模型为 例 1 已知某系统的微分方程模型为 零输入响应与零状态响应分析 零输入响应与零状态响应分析 三、对系统线性的进一步认识 三、对系统线性的进一步认识 四、全响应的分解 四、全响应的分解 § 2.5 冲激响应和阶跃响应 四．阶跃响应与冲激响应的关系 § 2.6 卷 积 一．借助冲激响应求系统的零状态响应 二．卷积积分（Convolution） 三．卷积的计算 1. 解析法 波形 三．卷积的计算 卷积的图解法 例 3 已知 f1(t) = e?t u(t)，f2(t) = u(t)，求 f1(t) ? f2(t). t 为参变量，从?? ? ? (1) t 0 (2) t 0 例 3 已知 f1(t) = e?t u(t)，f2(t) = u(t)，求 f1(t) ? f2(t). 例4 t 为参变量，从?? ? ? t ?-1 -1? t ?1 1? t ?2 2 ? t ? 4 t ? 4 卷积结果 四.对卷积积分的几点说明 1. 当f1(t) 或 f2(t)为分段连续函数时，需对t 分段求卷积。图解法往往比解析法更直观。 2. t 从??到?，对应 f2(t??) 从左向右移动； 3. 每当f1(?)与f2(t??) 的边界相交时，卷积积分规律开始发生变化，开始一个新的时间段。 4. 每个时间段内，当f1(?)? f2(t??) ? 0 时，卷积积分不为零。据此确定积分的上下限，图形在横轴的重合区间就是卷积的积分区间。 5. 卷积的结果是 t 的连续函数。卷积结果不为零的区间为—— 卷积结果区间的确定 g(t) 的宽度 = f1(t)的宽度 + f2(t)的宽度 四.对卷积积分的几点说明 6. 卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了LTI系统零状态响应 rzs (t) 与激励 e(t) 之间的关系： § 2.7 卷积的性质 例 1 已知某系统如图，求系统的冲激响应 h(t)。 其中 例 2 已知 f1(t) = e?t u(t)，f2(t) = u(t)，求 f1(t) ? f2(t). 证明交换律 微分性质的证明 作 业 一、微分方程式的建立 一、微分方程式的建立 一、微分方程式的建立 一、微分方程式的建立 二. 起始点的跳变 二. 起始点的跳变 线性电路中的零输入响应和零状态响应 线性电路中的零输入响应和零状态响应 线性电路中的零输入响应和零状态响应 例 1 求