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§6.1 测量误差的概念 仪器测量某量→产生误差 表现——相同条件对某量多次重复观测 所得观测值l1， l2 ，…， ln一般互不等 设观测量的真值—— 观测量li的误差—— 产生误差原因——仪器误差、观测误差与外界环境 误差分类——偶然误差、系统误差 (1) 偶然误差—— 符号与大小呈偶然性 单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律 偶然误差——真误差 案例1——三等、四等水准测量 在cm分划水准标尺上估读mm位 估读的数有时过大，有时偏小 案例2——经纬仪测量水平角 大气折光使望远镜中目标的成像不稳定 引起瞄准目标有时偏左、有时偏右 多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响 不能完全消除偶然误差的影响 (2) 系统误差—— 符号与大小保持不变，或按一定规律变化 案例——钢尺量距 用没有鉴定、名义长为30m、 实际长为30.005m的钢尺量距 每丈量一整尺段距离就量短了0.005m 产生-0.005m的量距误差 各整尺段的量距误差大小都是-0.005m 符号都是负，不能抵消，具有累积性 系统误差对观测值的影响具有一定的规律性 找到规律就可对观测值施加改正 以消除或削弱系统误差的影响 误差定义—— 规范规定——测量仪器使用前应检验和校正 按规范要求操作 布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时 应有一定量的多余观测 严格按规范要求进行测量时 系统误差与粗差是可被消除或削弱到很小 只讨论误差有偶然误差(真误差)的情形—— §6.2 偶然误差的特性 定义—— 大部分情况下，真值 未知，求不出Δ 某些情形中，观测量函数的真值已知 案例——三角形内角和闭合差ω定义为 ωi=(β1+ β2 + β3)i－180° 真值 ， ω的真误差—— 结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身 ① 偶然误差有界——一定观测条件、有限次观测 偶然误差绝对值不超过一定限值 ② 小误差出现频率大，大误差出现频率小 ③ 绝对值相等的正、负误差出现频率大致相等 ④ 观测次数n→∞，偶然误差平均值→ 0 误差数n→∞ ，误差区间dΔ→ 0 小长条矩形顶折线→光滑曲线——正态分布密度曲线 正态分布概率密度函数—— 德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现 ①Δ→∞，f(Δ)→0 ②|Δ1||Δ2|， f(Δ1)f(Δ2) ③ f(－Δ)=f(Δ)， f(Δ)关于y轴对称 ④ E(Δ)=0 20世纪相当长时间内 大学数学教学体系和教学内容仍保持20世纪初框架 我国现行工科数学体系也基本沿用20世纪50年代末方案 教学内容也一直无大的变化 内容多、负担重、枯燥乏味、学生学习积极性不高 一直困扰着大学数学教育 新技术在数学教学中的应用严重滞后于其他学科 数学课逐渐地变成不少学生不喜欢、枯燥乏味、 不知有何用途的课程 数学教学与社会需求严重脱节 针对该问题，美国国家科学研究管理机构组织协调 投入相当多资金和人力 完成 “微积分改革”和“将数学及其应用贯穿到大学课程” 两大改革项目 改革成功经验在世纪之交影响我国数学课程改革 当前，国内外数学课程教改的主要做法 ⑴ 改革现有数学课程，删除陈旧内容，简化形式推理 和繁琐技巧，实现逻辑推理、图形和数值计算有机结合 适当增加有关数学应用内容 包括数学在现代社会和新科学技术中的应用实例 和将实际问题归结为数学问题即“数学建模”的方法 达到提高学生对数学的广泛应用性的认识 培养学生具备一定的用数学解决实际问题能力 ⑵ 开设一些新的诸如数学建模类课程 计算机科学和其他学科渗透到数学 或数学渗透到其他学科的交叉学科课程 以及学生运用计算机为手段 自己动手学习数学和认识数学的课程——“数学实验”课 1996年，中国工业与应用数学学会和全国高等学校数学与力学教学指导委员会 相继将“数学实验” 列为面向21世纪教学内容 和课程体系革新的突破口 并定位于理工科大学生数学教育的基础课 “数学实验”是计算机技术和数学软件 引入教学后出现的新事物 是数学教学体系、内容和方法改革的一项重要尝试 “数学实验”倡导将数学工具软件(例如Mathematica、Matlab、Maple、Xmath、Lindo、Lingo等) 作为学习、研究和应用数学的一种新的手段 它强调学生的主体性 学生主要不再是通过教师传授 而是通过自己亲手实验去发现知识、获取知识 在美国等发达国家大学里 数学工具软件已成为大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本程序语言 更是早已成为研究设计单位和工业部门 解决工程计算问题的一种标准软件 1988年发布Mathematica 1.0 总设计师——美国伊利诺大学物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram 美国纽约时代周刊杂志称其为“不容忽视的重要软件” 商业周刊后来将