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第四章 根轨迹 本章教学目标与要求 掌握根轨迹的概念、根轨迹相角条件与模值条件，熟悉根轨迹绘制法则，了解主导极点的概念。 熟练绘制以开环增益为变量的根轨迹（正反馈和负反馈），了解参数根轨迹的含义。 了解控制系统性能与系统闭环传递函数零点、极点在与s平面分布的密切关系。初步掌握根轨迹分析法在控制系统分析与设计中的应用。 了解利用根轨迹估算阶跃响应的性能指标。 引言 设计磁盘驱动器系统可以练习如何进行折衷和优化。磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置，并减小参数变化和外部振动对磁头定位造成的影响。机械臂和支撑簧片将在外部振动的频率点上产生共振。对驱动器产生的干扰包括物理振动，磁盘转轴的磨损和摆动，以及元器件老化引起的参数变化等。 4.1 根轨迹的基本概念 1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出一种由系统开环零、极点的分布确定闭环系统特征方程根的图解方法——根轨迹法。这是一种由分析开环系统零、极点在复平面上的分布出发，用图解表示特征方程的根与开环系统某个或某几个参数之间全部系统的方法。它不仅适用于单回路系统，而且也可用于多回路系统。他已成为经典控制理论的基本方法之一，在工程上得到广泛的应用。 4.1.1 根轨迹的概念 根轨迹指的是系统某个参数（如根轨迹增益 或开环零、极点）变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。 下面结合图4.1所示系统，说明根轨迹的基本概念。 系统开环传递函数为 上式表明，特征方程的根随着变量K的变化而变化，如果令K从零变化到无穷，可以用解析的方法求出闭环系统极点的全部数值，将这些数值在s平面上标出，并用光滑的线连接，如图4.2所示，图中的粗实线为根轨迹，箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值为代表与闭环极点位置相应的K值。 对图4.1所示的例子，在推导特征根和可调参数之间的关系时，根轨迹可用解析法绘制。但对于高阶系统，很难写出特征根与参数之间关系的数学表达式。控制系统分析法的关键就是要有一种简单、实用的根轨迹绘制方法，以便在特征方程根的解析表达式不易写出时，利用根轨迹图分析控制系统的性能。 4.1.2 根轨迹的条件 闭环系统传递函数如图4.3所示 特征方程为 闭环特征方程为 系统的开环传递函数还可以写成下述时间常数的形式 因为G(s)H(s)为复变量s的函数，式（4-8）可表示成模值方程和相角方程 复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足上式的模值条件和相角条件。 从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们说，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件确定轨迹上的点，用模值条件确定根轨迹上该点对应的K*值。 4.2绘制系统根轨迹的基本法则 4.1节介绍了根轨迹的基本概念，根轨迹的条件和用解析法和试探法绘制根轨迹的方法。利用解析法和试探法绘制根轨迹对于低阶系统是可行的，但对于高阶系统，绘制过程是很繁琐的，不便于实际应用。 本节先讨论以根轨迹增益K*作为参变量时的180°和0°等相角根轨迹的绘制规则，然后介绍系统其他参数作为参变量时的根轨迹绘制方法。 4.2.1 等相角根轨迹的绘制规则 负反馈控制系统的典型结构图如图4.3所示。其开环传递函数和根轨迹方程式分别如式（4-7）和式（4-8）所示。当根轨迹增益K*大于零时，根轨迹的幅值条件和相角条件分别如式（4-11）和式（4-12）所示。这种情况下绘制的根轨迹称为180°等相角根轨迹，下面讨论绘制180°等相角根轨迹的基本规则。 规则1 在平面上将系统所有的开环零点以“O”表示，开环极点以“×”表示。 规则2 根轨迹的分支数，起点和终点。根轨迹的分支数（闭环极点数）与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。根轨迹的分支起始于开环极点，终止于开环零点。 分支——当K*从零到无穷大变化时，闭环极点在s平面上所形成的轨迹； 起点——对应于根轨迹上K*=0的点； 终点——对应于根轨迹上K*=∞的点。 规则3 实轴上的根轨迹。若实轴上某一线段右边的所有开环零极点的总个数为奇数，则这一线段就是根轨迹。 规则4 根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支趋于无穷远处并且无限接近于某一直线（渐近线）。 该渐近线与实轴的交点为 【例4.1】 系统开环传递函数为 交点为 规则5 根轨