[教育]八章三节 三重积分.ppt

从而 故 再确定Ω的下, 上边界面 注 通常是先积 再积 后积 三重积分 如积分域Ω为圆柱域(如图). 则 三重积分 解 例 所围成. 积分域用柱坐标表示为 原式 其中Ω由半圆柱面 三重积分 例 已知立体内任一点的质量的体密度 解 因为 平面 柱面坐标 求曲面 所围立体的质量M, 与该点 到z轴的距离的平方成正比. 的交线是 上的圆 体密度函数为 三重积分 Ω的下边界面是 上边界面是 故 所以Ω在xOy面上的投影域 即 是半径为2的圆域 三重积分 2 0 , 2 0 ￡ ￡ ￡ ￡ r p q ; 2 1 2 r = z 当被积函数是 积分域Ω由圆柱面 (或一部分)、锥面、抛物面 用 所围成的. 柱面坐标 计算三重积分较方便. 三重积分 记投影向量与x轴正方向的 规定 正方向间的夹角为 夹角为 球面坐标. 称 为点M的 三重积分 3.利用球面坐标计算三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点, 向xOy平面投影, 球面坐标系中的三坐标面分别为 原点为心的球面； 过z轴的半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为 原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； 三重积分 球面坐标系中的体积元素为 若以三坐标面分割空 得小六面体 (红色部分). 于是, 在球面坐标系中， 间区域 三重积分 通常是 注 三重积分 如积分域Ω为球域(如图). 则 三重积分 解 法一 采用 例 所围的立体. 球面坐标 三重积分 三重积分 法二 采用 柱面坐标 三重积分 三重积分的概念 三重积分的计算 小结 思考题 作业 第三节　三重积分 第八章 重积分 是空间有界闭区域Ω上的 如当各小闭区域直径中的最大值 在每个 1. 三重积分的定义 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域 其中 并作和 作乘积 ① ② ③ ④ 有界函数. 也表示它的体积. 表示第i个小闭区域, 上任取一点 三重积分 一、三重积分的概念 记为 函数 趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为 在闭区域Ω上的三重积分. 　 即 体积元素 三重积分 三重积分 如果用平行于坐标面的 平面的来划分 故直角坐标系下的体积元素为 在直角坐标系下三重积分可表为 3. 三重积分的几何意义 设被积函数 有界闭区域连续函数一定可积 2. 三重积分存在性 则区域V 的体积为 在Ω上是可积的. 的三重积分存在时, 三重积分 4. 三重积分的性质 与二重积分的性质类似. 补充三重积分 对称性质 则称f关于变量z的奇 函数. 关于 坐标面的上半部区域. (偶) 三重积分 关于 坐标面的前半部区域. 三重积分 关于 坐标面的右半部区域. 三重积分 或 而得结果为零. 例 0 则 三重积分 二、三重积分的计算 在不同的坐标系下把三重积分化为三次积分。 三重积分 思想 1. 利用直角坐标计算三重积分； 2. 利用柱面坐标计算三重积分； 3. 利用球面坐标计算三重积分。 (1) 坐标面投影法 (先一后二法) 如图, 闭区域 面上的投影为闭区域Dxy, 过点 作直线, 三重积分 1. 利用直角坐标计算三重积分 于是 可以 XY型空间区域 表示为 相交不多两点情形. XY型空间区域 X－型 再计算 的函数, 得 三重积分 则 如何写出当Dxy为Y–型闭域时, 化为三次积分的公式 三重积分 三重积分 三重积分 同样,如果积分区域Ω是YZ型的，可以把 Ω向yOz投影，于是Ω可表示为 此时三重积分的计算法为 如果积分区域Ω是ZX型的，可以把Ω向zOx 投影，于是Ω可表示为 此时三重积分的计算法为 所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分). 积分域Ω及其在坐标面上的投影区域D选取适当的三次积分进行计算. 解题时, 要依据具体的被积函数 三重积分 三重积分 以上计算三重积分的方法按先“单积分”后“二重积分”的步骤,所以又称其为“先一后二”的积分次序。 又由于此方法是先把积分区域 向坐标面投影，且二重积分的积分区域就是 的投影区域，故该方法也称为坐标面投影法。 解 由于V是长方体, 故 例 三次积分的上、下限 都是常数, 三重积分 计算三重积分 其中V是长方体 坐标面投影法(先一后二法) 三重积分 计算三重积分 例 解 计算三重积分 三重积分 解 化三重积分 为三次积分, 例 所围成的闭区域. 三重积分 其中积分区域为由曲面 得交线投影区域 (平面截面法) (红色部分) (先二后一法) 一般步骤 (1) 投影, 得投影区间 (2) (3) 计算二重积分 (4) 最后计算单积分 三重积分 (2) 坐标轴投影法 Z型空间区域 Z型空间区域：当 时， 纵坐标为z的平面去截 时，所得到的是一个平面区域 三重积分 即 当被积函