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小波分析及其应用 Wavelet Analysis andIts Applications 黑龙江八一农垦大学 参考书目 1. 孙延奎 小波分析及其应用 机械工业出版社 2005年3月 2. I.Daubechies. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF Ser. Appl.Math[M]. SIAM. Philadelphia, 1992. 建议先修课程 泛函分析 数字信号处理 数字图像处理 主要内容 一 傅里叶变换到小波分析 二 小波及小波变换 三 多分辨分析与Mallat算法 四 小波变换的应用 小波分析发展历史 1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热传导解析理论”论文 1910年 Haar 提出最简单的小波 1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。 1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨分析理论（MRA）。 图像的频率特性 Fourier变换的低通滤波示例 Fourier变换的高通滤波示例 因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 短时傅里叶变换STFT 确定信号局部频率特性的比较简单的方法是在时刻?附近对信号加窗，然后计算傅里叶变换。 X(?,F)=STFT{x(t)}=FT{x(t)w(t- ?)} 其中，w(t-?)是一个以时刻?为中心的窗函数，注意信号x(t)中的时间t和X(?,F)中的?。 窗函数w根据?进行了时移，扩展傅里叶变换表达式 问题 信号不能同时在时域和频域准确定位 短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法 二 小波及小波变换 小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是非常有用的。 它具有多分辨率分析(Multi-resolution Analysis) 的特点 小波变换，由信号得到信号小波系数。 部分小波波形 设y(t)∈L2(R）： 　 时，我们称y(t)为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet) 。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。 小波基函数 小波变换的分类： 连续小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。 离散参数小波变换 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。 通过下面公式(3.16)和(3.17)，可以很快计算出尺度系数和小波系数{cj,k,dj,k}，这就是著名的Mallat算法： 四 小波变换的应用 信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探 流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算 小波分析在图像处理中的应用 图像是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。 （1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的行变换。 （2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的列变换。 小波变换用于图象特征抽取 图像融合 边缘检测 小 结 （1）小波分析理论上比较完善 小波变换基，既具有频率局域性质，又具有时间局域性质。小波变换的多分辨度的变换，能在多个尺度上分解，便于观察信号在不同尺度（分辨率）上不同时间的特性。 （2）小波分析有广泛的实用性 小波变换存在快速算法，对于M点序列而言，计算复杂性为：O(M)，处理快速。小波变换基函数有多种类型，可以是正交的，也可以是非正交（双正交），比傅里叶变换更加灵活。 小波变换在图像压缩中的应用 小波运算的基本步骤： (1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。 (3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤(2)、(3)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长度，如图所示