[教育]第五章 离散信号与系统的时域分析.ppt

例 5.5-4 如图 5.5-3 的离散 系统，求其单位响应h(k)。 图 5.5-3 例 5.5-4图 解 (1) 列算子方程。 它可写为 由右端加法器的输出端可列出方程 系统的输入输出算子方程 (2) 求单位响应。 将上面两个单位响应分量相减，即可得到系统的单位响应 例 5.5-5 设描述离散时间系统的差分 方程为 求系统的单位响应。 解 由已知差分方程得系统传输算子 将 进行部分分式展开，得 即 由式（5.5-11）得 因此，系统单位响应为 5.5.3 一般信号f(k)激励下的零状态响应 设离散时间系统的输入为f(k)，对应的零状态响应为yf(k)。由离散时间信号的时 域分解公式(5.5-1)知道，可将任一输入序列f(k)分解表示成众多移位脉冲序列的 线性组合，即 根据LTI离散系统的特性，应用单位响应h(k)可以分别求出每个移位脉冲序列f(m)δ(k-m)作用于系统的零状态响应。然后， 把它们叠加起来就可以得到系统对输 入f(k)的零状态响应yf(k)。 ［单位响应定义］ ［系统的时不变特 性］ ［yf(k) 的齐次性］ ［yf(k)的叠加性］ ［信号的分解公式和卷积和运算 定义］ 于是，得到系统在一般信号f(k)激励下的零状态响应为 (5.5 - 18) 可将离散时间系统的完全响应表示为 这一结果表明：LTI离散时间系统的零状态响应等于输入序列f(k)和单位响应h(k)的卷 积和。 例 5.5-6 已知离散系统的输入序列f(k)和 单位响应h(k)如下： 求系统的零状态响应yf(k)。 解 根据式(5.5 - 18)，有 由卷积和的分配律，将上式写成 查卷积和计算公式表 5.1，得 由系统的时不变特性，得 于是，系统的零状态响应为 例 5.5-7 描述某离散系统的差分方程 为 y(k)-0.7y(k-1)+0.12y(k-2)=2f(k)-f(k-1) 若输入f(k)=(0.2)kε(k)，零输入响应初始条件yx(0)=8, yx(1)=3。 试求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。 解 写出系统的算子方程 其传输算子为 先求系统的零输入响应yx(k)。 将初始条件代入上式，有 解得c1=2, c2=6。 故有零输入响应 再求系统的零状态响应yf(k)。此时，需要求出系统的单位响应。 为此，将 即 写出系统单位响应 按式(5.5 - 18)计算零状态响应 最后，将零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)相加，得到系统的完全响应 5.6 系统差分方程的经典解法 1. 齐次解 设n阶LTI离散系统的传输算子H(E)为 相应的输入输出方程可用后向差分方程表示为 式中，ai(i=0, 1, …, n-1)、 bj(j=0, 1, …, m)均为常数。 当式(5.6-2)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程 的解称为齐次解，记为yh(k)。 通常，齐次解由形式为cλk的序列组合而成，将cλk代入式(5.6-3)，得到 消去常数c，并同乘λn-k，得 表 5.2 特征根及其对应的齐次解 2. 特解 表 5.3 自由项及其对应的特解 如果一个n阶 差分方程，特征根λ1为r重根，其余特征根均为单根， 那么， 该差分方程的完全解可 表示为 式中的各系数ci, cj由差分方程的初始条件，即n个独立的y(k)值确定。 例 5.6 – 1 某离散时间系统的输入输出方程 为 已知f(k)=cos(kπ)ε(k), y(0)=15, y(2)=4。 试求k≥0时系统的完全响应y(k)。  解 系统特征方程为 其特征根λ1=1/2, λ2=-1/3。 故差分方程的齐次解为 因输入 由表5.3可设特解为 相应右移序列为 代入原差分方程，得 比较方程两边系数，求得P=2，于是有 方程的完全解 与连续系统响应类似，也称差分方程的齐次解为系统的自由响应， 称其特解为强迫响应。本例中，特征根|λ1, 2|＜1，其自由 响应随k的增大而逐渐衰减为零， 故为系统的暂态响应。 而强迫响应为 有始正弦序列，是系统的稳态响应。 此式表明，序列yx(k)是一个以r为公比的几何级数，它具有以下形式： 式中，c1是常数，由系统零输入响应的初始条件确定。上述结果与一阶齐次微分方程 解c1eλt的形式非常类似，因为当时间t按t=kT离散变化时，其解可改写成c1eλt=c1eλkT=c1(eλT)k，令eλT=r时，