[数学]53 n 维向量空间的正交性.ppt

向量的长度 (或称模，或范数) 例 设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量，且 Ax=y , 证明：x 与 y 正交 . 线性无关向量组未必是正交向量组 2. 标准正交向量组 把线性无关向量组 例 设 例 将 定义 例 小 结 * 5.3 n 维向量空间的正交性 5.3.1. 内积 5.3.2. n 维向量的正交性 5.3.3 施密特正交化方法 5.3.4 正交矩阵 5.3.1 内 积 若 为行向量， 若 为列向量， 定义 注： 内积满足以下运算规律 对称性 线性性 非负性 (2) 向量长度的性质 Cauchy-Schwarz (柯西—施瓦兹) 不等式 证 向量的夹角 Cauchy-Schwarz (柯西—施瓦兹) 不等式 则称向量α与β正交， 勾股定理 注 (1) 零向量与任何向量都正交. 5.3.2 n维向量的正交性 定义 1. 正交向量组 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组． 注： (2) 由单个非零向量组成的向量组也为正交向量组． (1) 这里每个向量均要求非零; 证 证明 作内积 定理 解 例 解得 如何将一线性无关向量组化为标准正交向量组？ 首先 5.3.3 施密特正交化方法 标准正交化 (1)正交化 (2)单位化 一般地, 例 用施密特正交化方法，将向量组 标准正交化. 解 先正交化， 取 再单位化， 得标准正交向量组如下 解 解 性质 若实矩阵 A 满足 AAT= ATA =I ,则称 A 为 正交矩阵. 5.3.4 正交矩阵 于是，AAT = I 与 ATA = I 中只要一个成立，则 A 为 正交矩阵. 证(4) 解 所以它不是正交矩阵． 考察矩阵的第一列和第二列， 由于 判别下列矩阵是否为正交阵． * * *