[数学]D5_2多元函数的偏导数与全微分.ppt

定义1. 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 注意： 由微分定义 : 例9. 有一圆柱体受压后发生形变, 内容小结 备用题1. 2. 设 4. 微分应用 ? 近似计算 ? 估计误差 绝对误差 相对误差 29/30 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 选择题 30/30 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解: * * * * 第二节 多元函数的偏导数与全微分 一、 偏导数 三、全微分 作业 习题5.2 1，2，4, 5，6, 8, 9, 10(2)，11（2） 二、二元函数偏导数的几何意义 四、全微分在数值计算中的应用 一、 偏导数 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, 关于 t 的 将振幅 2/30 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意: 3/30 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 4/30 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为 (请自己写出) 5/30 及y 的偏导数均存在, 如果 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 6/30 例2. 设 证: 例3. 求 的偏导数 . 解: 求证 7/30 偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 8/30 二、二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 9/30 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例5 并不能保证在该点连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 10/30 11/30 三、全微分 引例1 边长为x的正方形,当边长改变一点点时, 求面积的改变量. 引例2 长方形的长为x,宽为y,当长和宽均改变一点点时,求面积的改变量. 线性主部 线性主部 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. 12/30 当 充分小时,全微分就是f在 处的改变量. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 13/30 定理1(可微的必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 14/30 例6 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 15/30 定理2 (可微的充分条件) 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 16/30 (由连续的定义与极限与无穷小的关系) 所以函数 在点 可微. 注意到 , 故有 17/30 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 的全微分为 于是 18/30 例7. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例8. 计算函数 的全微分. 解: 19/30 可知当 四、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 20/30 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 求此圆柱体 21/30 例10.计算 的近似值. 解: 设 ,则 取 则 22/30 分别表示 x , y , z 的绝对误差