[数学]动量矩定理1.ppt

魔术师的表演（25分）第六届初赛样题 1. 考虑圆盘B ，受力如图b所示，根据对质心的动量矩定理 2. 考虑杆轮系统，受力如图c所示,应用对固定点O的动量矩定理，计算轮B动量矩时使用式 ?解： LO = LC + rC× p 得 ωB B A m2g FAx FAy (b) O θ B A m2g m1g FOy FOx (c) 3. 运动特性：圆盘的转动不影响系统的摆动，而系统的摆动也不影响圆盘的转动。 微幅振动时的运动规律为 ωB B A m2g FAx FAy (b) O θ B A m2g m1g FOy FOx (c) ? 非耦合运动! 例题 12-10 起重装置由匀质鼓轮D（半径为R，重为W1）及均质梁AB（长l=4R，重W2=W1）组成，鼓轮通过电机C（质量不计）安装在梁的中点，被提升的重物E重 。电机通电后的驱动力矩为M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的约束力FNA及FNB。 O B A C D E 1. 求加速度a。 解： 其中 解得 考虑鼓轮D，重物E及与鼓轮固结的电机转子所组成的系统（图b），M为电机定子作用在转子的驱动力矩，对固定点O的应用动量矩定理得 O B A C D E O ? W M O D E W1 (b) 2. 考虑整个系统（图c） ，注意驱动力矩为M系统内力。对点B应用动量矩定理得 O A B ? W W2 FNA A C D E FNB W1 (c) 解得 对整个系统应用动量定理得 O A B ? W W2 FNA A C D E FNB W1 (c) 解得 核心问题：驱动力矩为系统内力矩还是系统外力矩？ 2）驱动力矩为外力矩：FA=FB 1）驱动力矩为内力矩（内部电机提供）：FA≠FB 问题：支座B处约束力可能为零否？ 根据本题的启示，设计一个力学小魔术：不依靠任何外力矩， 倒立摆可在任何倾角处保持不动甚至能从倾斜状态竖立起来。 魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M；另一个道具是长为L的均质刚性板AB，质量为2M，可绕光滑的A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为3M，放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板AB水平放置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为?。然后魔术师又把箱子固定在AB板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图3所示。 魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是，当圆球离开AB板后，AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。 （1）为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？ （2）根据上述介绍，你能否求出AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？ （3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。 自锁，临界平衡 由于转子的转动与电流有关，而ε是常数，因此事先设计好电流的大小即可），这时撤去B处的约束不影响AB板的平衡。 在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。 FB M1g FAY FAx Mg M2g §10.5 刚体的平面运动微分方程 平面运动 随质心平动 绕质心转动 投影式： 这就是刚体的平面运动微分方程。可以应用它求解刚体作平面运动时的动力学问题。 例题12-11 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线轨道纯滚动。设轮的回转半径为rC，作用于圆轮上的力矩为M，圆轮与地面间的静摩擦系数为f。求（1）轮心的加速度；（2）地面对圆轮的约束力；（3）在不滑动的条件下力矩M的最大值。 解: 根据平面运动刚体的微分方程,有: 欲使圆轮只滚动而不滑动（纯滚动） x y O C φ 若在斜面上? x y O C A FN F mg α ? aC maC = mgsin ?－F 0 = FN－mgcos ?　　 JCα = F r aC = r α 求得圆柱滚动而不滑动的条件 tan ?≤ 3 fs ? 讨 论 1.若此条件不成立，如何分析？ 即圆柱有滑动，故运动学关系aC = rα不成立。 则应用关系F = FN fs 做为补充方程。 FN = m g cos ? 2. 本例动量矩方程亦可用 JA α =MA 。 3. 本例亦可用动能定理求出aC，然后应用质心运动定理求出 F。 例题 12-12 匀质细杆 AB 的质量是 m