[数学]期末统计与概率复习.ppt

2. 事件的相互独立性 (1) 一般地，若事件A, B满足P(A|B)=P(A),称事件A, B独立. (2)若事件A, B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B). (3)两个事件A, B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B). (4)若事件A1, A2, …, An相互独立，则这n个事件同时发生的概率 3. 独立重复试验 （1）一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与 ，每次试验中P(A)=p (0p1)， （2）如果事件A与B相互独立，那么A与 , 与B, 与 也都相互独立. 4. 二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0p1)，即P(A)=p, P( )=1－p=q. 由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生,而在其余n－k次不发生的概率为 又由于在n次试验中，事件A恰好发生k次的方式有 种. 若随机变量X的分布列为P(X=k)= ,其中0p1, p+q=1, k=0, 1, 2, …, n，则称X服从参数为n，p的二项分布， 记作X～B(n, p). 所以由概率的加法公式可知，n次试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率 为 它恰好是(p+q)n的二项展开式中的第(k+1)项. 三、离散型随机变量的期望与方差 (1) 数学期望(均值)： 称x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ, 其中xi是随机变量X的可能取值，pi是概率, p1+p2+…+pn=1, i=1, 2, …, n, 1. 离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn （2）方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示， 则 刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差.记为D(X)或σ2，其算术平方根称为X的标准差，即σ= 2. 期望与方差的性质 （1）E(aX+b)=aE(X)+b; （2）D(aX+b)=a2D(X) (a、b为实数). 3. 两点分布、二项分布与超几何分布的期望、方差： （1）若X服从两点分布，则 E(X)=p, D(X)=p(1－p). （3）若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)= . （2）若离散型随机变量X服从参数为n, p的二项分布X～B(n, p), 则E(X)=np, D(X)=np(1－p). 四、正态分布 1. 正态分布的定义: 如果对于任何实数 ab, 随机变量X满足: 则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N(μ,σ2).其图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N(μ，σ2) 频率 组距 产品 尺寸 （mm） 2. 正态分布的概率密度曲线的形状特征 “中间高，两头低，左右对称” x=μ 3. 正态曲线的性质： ①曲线位于x轴______, 与x轴不相交； ②曲线是单峰的,它关于直线_______对称； ③曲线在______处达到峰值 ④曲线与x轴之间的面积为____ ； ⑤当σ一定时,曲线随着_____的变化而 沿x轴平移, 上方 x=μ x=μ 1 μ 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ① P(μ－σX≤μ+σ)=___________; ② P(μ－2σX≤μ+2σ)=____________; ③ P(μ－3σX≤μ+3σ)=____________. 0.6826 0.9544 0.9974 (3)变量间的相关关系 变量之间的两种关系 1)确定性的函数关系 2)非确定性的相关关系（线性相关） 检验的步骤如下： （1）作统计假设：x与Y不具有线性相关关系; （2）根据小概率0.05与n－2在附表中查出r的一个临界值r0.05； （3）根据样本相关系数计算公式求出r的值； （4）作统计推断，如果|r|r0.05，表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系。 如果|r|≤r0.05，我们没有理由拒绝原来的假设。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。 卡方统计量 独立性检验 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.02