[数学]第八章 广义逆矩阵.ppt

北京理工大学高数教研室* 第一章 第一节 函数 第八章 广义逆矩阵 定理：设 是数域 上一个 矩阵，则矩阵方程 总是有解。如果 ，并且 其中 与 分别是 阶、 阶可逆矩阵，则矩阵方程(1)的一般解(通解)为 (1) (2) 其中 分别是任意 矩阵。 证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程(1)，得到： (3) 所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。 为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任取(1)的一个解 ，则由(1)和(2)得 因为 可逆，所以从上式得 (4) 把矩阵 分块，设 代入(4)式得 即 (5) 由此得出， ，代入(5)式便得出 这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解. 定义：设 是一个 矩阵，矩阵方程 的通解称为 的广义逆矩阵，简称为 的广义逆。我们用记号 表示 的一个广义逆。 定理(非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 证明：必要性。设 有解 ，则 。因为 ，所以 充分性。设 ，则取 得 所以 是 的解。 定理(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次线性方程组 有解，则它的一般解(通解）为 其中 是 的任意一个广义逆。 证明：任取 的一个广义逆 ，我们来证 是方程组 的解： 已知 有解，根据前一个定理得： 这表明 是 的一个解。 反之，对于 的任意一个解 ，我们要证存在 的一个广义逆 ，使得 。设 是 矩阵，它的秩为 ，且 其中 与 分别是 阶、 阶可逆矩阵。由于 的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵 ，使 即 先分析 与 之间的关系。因为 ,所以有 分别把 分块，设 (6) 则(6)式成为 所以 ，因为 ，所以 ，从而 。设 ，且设 。 取 则 于是 从而只要取 则 定理(齐次线性方程组解的结构定理)：数域 上 元齐次线性方程组 的通解为 其中 是 的任意给定的一个广义逆， 取遍 中任意列向量。 证明：任取 ，我们有 所以 是方程组 的解。 反之，设 是方程组 的解，要证存在 ，使得 。取 我们有 所以 是方程组 的通解。 利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。 推论：设