[数学]第五章 线性回归与相关.ppt

1. 多元线性回归的数学模型(Mathematical model of multiple regression) 试验号 设变量 y 与另外 p 个变量 x1, x2, …, xp 的内在关系是线性的，如果做了 N 次试验，其结果如下表： 上表中的数据可以假定具有如下数学模型： 即 试验号 或者 式中 是待估计参数， 是N个独立且服从正态分布 的随机变量。 ① ② ①、②称为多元线性回归的数学模型。 用试验结果进行估计时，可得相应的多元线性回归方程为： 式中 b0 为常数项，bj 为 y 对 xj 的偏回归系数，它是表示当其它 x 固定不变时，xj 变化一个单位而使 y 平均变化的数值。 如果令： 则模型可以写成矩阵形式: 多元线性回归 的数学模型: 则模型可以写成矩阵形式: N× 1 N× (p+1) (p+1)× 1 N× 1 Why? 2. 多元线性回归方程的建立 确定直线方程的原则： 确定 b0 及 bj 值： 欲使建立的回归方程最好，须使 和 之间的差异最小。 = 最小 要使 则有： = 最小， 即 上式及本式称为正规方程组 (Normal equations). 对正规方程组求解，即得b0, bj. 如果令A为正规方程组的系数矩阵，即 ： (p+1) × (p+1),方阵 (p+1) × p p ×(p+1) Structure matrix (p+1) × p N× 1 令B为正规方程组右端的常数项矩阵，即： 令 则正规方程组 对上式求解，得： 可以写成矩阵形式： 表 10株玉米穗行数 x1，行粒数 x2与单株产量 y 例： 处理　 　穗行数 x1　 　行粒数 x2 　　单株产量 y 1 16 29 139 2 16 32 150 3 14 32 133 4 12 39 142 5 18 26 143 6 14 37 160 7 16 31 147 8 14 38 161 9 14 40 169 10 14 28 134　 欲建立的二元线性回归方程为： 调查某玉米综合种10株，该品种每株玉米皆为单果穗。试建立每穗行数、行粒数与单株产量间的二元线性回归方程。 常数项矩阵 y 矩阵 结构矩阵 结构矩阵 y 矩阵 常数项矩阵 该方程有唯一解的条件是: A-1 是方程系数矩阵的逆矩阵, 称相关矩阵。 是系数矩阵 A 的行列式。 Aij 是 中元素 aij 的代数余子式。 式中： 对 求解得： 每穗行数、行粒数与单株产量间的二元线性回归方程为： 3. 多元线性回归方程的显著性检验 1) 因变量观察值的变异来源划分 2) 变异平方和的分解与计算 (1) 回归方程的显著性检验 总变异 = 剩余变异 + 回归变异 SST = SS剩 + SS回 其中 B0， Bj为常数项矩阵 B 中的元素 平方和的计算 SST = SS剩 + SS回 即 令 3) 自由度的分解与计算 4) F值的计算 5) 统计推断 F ≥ Fα 否定H0 ，接受 HA 总自由度： dfT = N – 1