[数学]第四章 随机变量的数字特征.ppt

第四章 随机变量的数字特征 二、方差的性质: 10 设C是常数, 则D(C)=0; 20 设X是r.v., C是常数, 则有 D(CX)=C2D(X); 30 设X, Y是两个相互独立的随机变量, 则有 D(X?Y)=D(X)+D(Y); 40 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, 即 P{X=C}=1. 例1 设X~b(n,p),分解X求其方差D(X). 易知X1,X2,…,Xn独立同服从(0--1)分布，因此 所以结论成立. 三. 切比雪夫(Chebyshev)不等式: 这个估计的精度不高，但具有普遍适用性。 §3. 协方差和相关系数 展开可得计算公式: Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 由方差性质证明知,对于任意的两个r.v.X和Y, 有 D(X?Y)=D(X)+D(Y) ?2Cov(X,Y). * * 例1 甲,乙两人进行打靶, 所射中环数分别记为 X1, X2, 它们的分布律分别为: X1 8 9 10 X2 8 9 10 pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.5 0.3 试评定他们射击技术的好坏. §1 随机变量的数学期望 若使两个射手各射N枪，则他们打中的环数大约是： 他们平均射中的环数约为 平均起来甲每枪射中 9.3环，乙射中9.1环，因此甲的技术要好些。 受此问题启发在上式中用概率代替频率引入如下定义： 例2 设X为投掷一颗骰子时出现的点数，则X的分布律为 于是，X的数学期望为 下面计算一些离散型分布的期望值。 1) (0-1)分布 设X服从(0-1)分布，分布律为 P{X=1}=p,P{X=0}=q, 0p1,q=1-p X的数学期望为 E(X)=1·p+0·q=p 连续型随机变量的数学期望： 设f(x)为连续型随机变量X的概率密度，对X的取值区间作一分割，有 下面计算常用连续型变量的数学期望： 则 它恰是区间[a,b]的中点。 指数分布是最常用的“寿命分布”之一，期望表明?值越小，产品平均寿命越长。 因此柯西分布的数学期望不存在. 随机变量函数的数学期望公式: 说明: 1. 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求 E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可 以了. 2. 上述定理可以推广到多维r.v.函数. 例7 某商品的市场需求量X服从[2000,4000]上的均 匀分布，每售出一吨挣 3 万元，售不出则每吨需 保养费1万元，问应组织多少货源才能使收益最大。 当y=3500时达到最大值，因此组织3500吨货源是最好的决策。 均值的性质: (1) E(c)=c; (c为常数) 说明:i. 性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v. (X1, X2, …, Xn)的情况. (2) E(cX)=cE(X);( c为常数) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y); (4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y); (5) |E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式) ii. 对于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互独立; 对 于“积”要求X1,X2,…,Xn相互独立. 例1. 二项分布的均值的计算: 设X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相互独立的且都服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试验的结果:Xi=1表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以 说明: 将X分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数学期望等于r.v.的数学期望之和来求解. 这个方法具有一定的普遍意义. §2. 方差 方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度, 在概率论和数理统计中十分重要. 一、定义 若X为离散型r.v.其分布律为P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则 在前面例1中,X,Y表示甲乙一次击中的环数,有 可见甲的技术不够“稳定”,乙方差小较“稳定”. 方差的计算公式: 10. 设随机变量X具有(0--1)分布, 其分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p, 则 E(X)=0?(1-p)+1?p=p, 故 D(X) =E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p). E(X2)=02?(1-p)+12?p=p, 下面计算一些常见分布的方差 . )] ( E [ ) ( E ) ( D 2 2 npq