[数学]高中绝对值不等式 精华版 适合高三复习用 可直接打印.doc

绝对值不等式 绝对值不等式， 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|+1|2－；(2)|－2－6|3 ［思路］利用｜f(x)｜g(x) -g(x)f(x)g(x)和｜f(x)｜g(x) f(x)g(x)或f(x)-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于+12－或+1－(2－) 解得或无解，所以原不等式的解集是{|} (2)原不等式等价于－3－2－63 即 26 所以原不等式的解集是{|26} 1．解不等式（1）｜x-x2-2｜x2-3x-4；（2）≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x2-2x2-3x-4 ① 或x-x2-2-(x2-3x-4) ② 解①得：1-x1+ 解②得：x-3 故原不等式解集为｛x｜x-3｝ 分析二 ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜ 而x2-x+2＝(x-)2+0 所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4 解得：x-3 ∴ 原不等式解集为｛x-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，由于不等式≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于≤1 9x2≤(x2-4)2 (x≠±2) x4-17x2+16≥0 x2≤1或x2≥16 -1≤x≤1或x≥4或x≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|－1||+|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|－1|≥0，|+|≥0，所以两边平方后有： |－1||+| 即有－2+1+2+，整理得(2+2)1－ 当2+20即－1时，不等式的解为(1－)； 当2+2=0即=－1时，不等式无解； 当2+20即－1时，不等式的解为 （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜5. 解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)5-2x6x-3. 当-3x2时，原不等式为(2-x)+(x+3)555无解. 当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)52x4x2. 综合得：原不等式解集为｛x｜x2或x-3｝. ［请你试试4—2］ 1 解关于的不等式(0且≠1) 解析：易知－11，换成常用对数得： ∴ 于是 ∴ ∴ ∵－11 ∴01－1 ∴(1－)0 ∴0 ∴ 解得01 2．不等式|x+3|-|2x-1|+1的解集为 。 解： |x+3|-|2x-1|= ∴当时 ∴x2 当-3x时4x+2+1 ∴ 当时∴ 综上或x2 故填。 3．求不等式的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 ，解得 又原不等式可化为 (1)当时，不等式化为即 ∴ ∴ 综合前提得：。 (2)当1x≤2时，即. ∴ 。 当时， ∴ ∴，结合前提得：。 综合得原不等式的解集为 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x的不等式 ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 当即时， ∴ 当即时， ∴x((6 当即时， x(R ［请你试试4—3］ 1．解关于的不等式： 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须