高中奥林匹克物理竞赛解题方法 03微元法.pdf

高中奥林匹克物理竞赛解题方法 三、微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法 可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的 “元过程”，而且每个 “元过程”所遵 循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些 “元过程”，然后再将 “元过程”进行必要的 数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考， 从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高 为H，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用 “微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 △t （△t→0），则人由AB 到达A′B′，人影顶端 C 点到达C′点，由于△S ′ v△t 则人影顶端的 AA H S  SCC H  h AA Hv 移动速度vC lim lim t0 t t0 t H  h 可见v 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 c 端C 点做匀速直线运动. 例2：如图3—2 所示，一个半径为R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段 （微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： 物理奥赛三第1页 T  T Gcos  T T Gcos Lg cos     由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T 的和， θ θ 即 T T Lg cos g Lcos     观察 Lcos 的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小， 所以CD⊥OC，∠OCE θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R， 所以 Lcos R 可得铁链A 端受的拉力 T g Lcos gR   例3：某行星围绕太阳C 沿圆弧轨道运行，它的近日点 v A 离太阳的距离为a，行星经过近日点A 时的速度为 ， A 行星的远日点B 离开太阳的距离为b，如图3—3所示， 求它经过远日点B 时的速度 的大小. v B 解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也 可根据开普勒第二定律，用微元法求解. 设行星在近日点A 时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短可以认为行星在△t 时间内 做匀速圆周运动，线速度为 ，半径为a，可以得到行星在△t 时间内扫过的面积 v