[物理]刚体力学2.ppt

四、力矩的功 ∵? = ?/2 – ? 设刚体从?0转到?，则力Fi做功为 对转轴O的力矩为 §4.1 功 保守力的功 力矩的功 ? ? o d? ri 若有几个力作用于刚体,则它们所做的总功为 可见,力对刚体做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分来表示,故也称力矩的功。它就是力做的功在刚体转动中的特殊表示形式。 力矩的功 §4.2 动能定理 三、刚体定轴转动的动能定理 1、刚体定轴转动的动能 如果刚体绕轴Z转动，则任意质元的动能为 所以刚体定轴转动的动能为： 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。 刚体转动动能与其角动量大小的关系 这质点平动动能与其动量大小的关系 2、刚体定轴转动的动能定理 力矩做的功对刚体定轴转动的影响可以通 过转动定律导出。 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于它的转动动能的增量。 刚体定轴转动的动能定理 3、刚体定轴转动中的势能和机械能守恒 如果一个刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念。例如在重力场中的刚体就具有一定的重力势能。它的重力势能就是它的各质元重力势能的总和。对于一个不太大，质量为m的刚体，它的重力势能为 其中hc是刚体质心（重心）距重力势能零点 的高度 一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。 对于包括有刚体的系统，如果在运动过程中只有保守内力做功，则这系统的机械能也应该守恒。 教材P.116.例4.5、一长为L、质量为m的均匀细棒，绕通过A端的水平轴在铅直面内自由转动，如图，现将棒从水平位置由静止释放，试求棒转到铅直位置的过程中棒的重力所做的功及棒在铅直位置时的角速度。 解: 方法一 细棒转过角度d? 时，重力做功 棒转动从?/2→0的过程中,重力做功为 ? y b ? c hc=L/2 mg x 以x轴为极轴，逆时钟转动的? 角为正，均匀细棒的重力可视为作用在其重心c上。当棒在任意角位置? 时，重力对A端轴的力矩为 A 方法二：重力是保守力，做功等于势能的减少 刚体在水平位置时 刚体在竖直位置时 刚体绕A轴的转动惯量 根据刚体转动的动能定理 即 水平位置， 铅直位置， (顺时针) 轴的支持力不做功,机械能守恒 θ y b θ c hc=L/2 mg x 即 解得 1、质量为M的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m，长为L的匀质柔软绳索（如图），设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小。 解： S O x1 x2 ? o r M P.11.第三章刚体力学课堂练习 圆盘与绳子的转动惯量 m3r2 T2 m2g T1 m1g a a m2 m1 对右边绳子有 对左边绳子有 x 受力分析如图 Mg N T1 T2 r M ? ? o S O x1 x2 ? o r M 2、一轻绳绕过一定滑轮，滑轮质量为M/4，均匀分布在边缘上，绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/2的重物如图，设人(从静止开始以)相对绳子匀速向上爬时，绳与滑轮无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ x M Mg T2 ? M/2 T1 Mg/2 R M/4 M/2 M B 解：受力分析如图,因人相对绳匀速运动,故人和 绳及B对地加速度相同。 T2 ? R M/4 T1 Mg/4 N A a a ? 根据牛顿第二定律 对B有 对人有 根据转动定律，对滑轮有 根据题意 此外还可求出?、T1、T2和N 3、长为L的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑转轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，则好与光滑水平桌面上的小球m相碰，如图所示，球的质量与杆相同，设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度。 解:棒在下落过程中机械能守恒 弹性碰撞过程机械能守恒 碰撞过程角动量守恒 初 末 末 初 初 末 O 4、一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动；初角速度为?0，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M=K?（K为正的常数），求圆盘的角速度从?0变为?0/2时所需的时间。 解： 根据转动定律有 t = 0 时，? = ?0; t 时刻, ? = ?0/2 即 分离变量 将 代入以上三式接得: 两边积分 得 例题、一个质量为m1、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m2的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m2由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。 解： 对m1： 对m2： O m1g N m2g T T h m1 m2 a R 且有 O m1g N m2g T T h m1 m2 a