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大学物理学教案 第三章 刚体和流体 §3-1 刚体及其运动规律 3-1-1 刚体的运动 3-1-2 刚体对定轴的角动量 3-1-3 刚体对定轴的角动量定理 和转动定律 3-1-4 刚体对定轴的角动量守恒定律 3-1-5 力矩的功 3-1-6 刚体的定轴转动动能和动能定理 z ?mi 第i个质元的动能： 整个刚体的转动动能： 设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d? 元功： 由转动定律 有 刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 * * 刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形变的物体 平动和转动 平动： 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。 注： 转动： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动： 转轴固定不动的转动。 P点线速度 P点线加速度 旋转(切向)加速度 向轴(法向)加速度 瞬时轴 v ? ω r r P × 基点O 刚体 刚体绕O的转动其转轴是 可以改变的，反映顺时轴 的方向及转动快慢，引入 角速度矢量 和角加速 度矢量 质元：组成物体的微颗粒元 质元对点的角动量为 沿转轴Oz的投影为 刚体对Oz轴的角动量为 令 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。 结论： 对于质量连续分布的刚体： （面质量分布） （线质量分布） （体质量分布） 例1. 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。 o x z dx dm x 解： O 解题思路 1. 确定研究对象属性; 2. 写出元质量表达式; 3. 计算转动惯量; 1.将棒弯一半成90度; 2.将Z轴移至细棒中心位置; o R 例2. 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的Z轴转动惯量。 解： r dr 解题思路 1. 确定研究对象属性; 2. 写出元质量表达式; 3. 计算转动惯量; 1. 将圆盘切成一半;2. 将轴平行移至与盘边缘相切处; 3.将Z轴移至通过圆心并在圆面上; m R Jz 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是 Jc 平行轴定理证明: 平行 =m 质心=0 对薄平板刚体的正交轴定理 y ri x z yi xi mi Δ 例3. 已知圆盘JZ=0.5mR2, 求对圆盘的一条直径的Jx y x z 圆盘 R C m 由 J J J J J J J mR z y x x y x y = + = ì í ? \ = = 1 4 2 回转半径 设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为： z 例4. 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r） r o 解： 摆杆转动惯量： 摆锤转动惯量： 解题思路 1. 确定研究对象属性; 2. 写出摆杆转动惯量; 3. 写出摆锤转动惯量; 4. 计算钟摆转动惯量; 由质点系对轴的角动量定理，可得 两边乘以dt，并积分 刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。 当 J 转动惯量是一个恒量时，有 或 刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 转动定律： 转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度 例5. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。 解： M m mg T m1 ? 解题思路 1. 确定研究对象; 2. 写出转动定理表达式; 3. 写出牛顿运动方程; 4. 解方程组并求出距离; 例6.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。 解： （1） c o B A 解题思路 写出细杆转动惯量; 写出细杆力矩; 运用转动定理; （2） c o B A 例7. 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为?o，绕中o心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为?） o r 解 dr R 解题思路 写出圆盘所受力矩; 运用转动定理; 刚体对定轴的角动量定理 恒量 当 时 刚体对定轴的角动量守恒定律： 当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不