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第三章 例题讲解 例3.1 已知系统的单位阶跃响应为： 求：1）系统的闭环传递函数； 2）系统阻尼比?和无阻尼固有频率?n。 解：1） 第三章 例题讲解 2）对比二阶系统的标准形式： 有： 例3.2 已知系统方框图如下： 图中虚线方框称为“比例＋微分”控制。求系统的上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts 及最大超调量Mp。并分析“比例＋微分”控制对二阶系统性能的影响。 ?ds Xi(s) Xo(s) 0?1 第三章 例题讲解 解：系统开环传递函数为： 闭环传递函数为： 其中： 注意到上式为有零点的二阶系统，不可应用典型二阶系统的时域性能指标求解公式。 第三章 例题讲解 第三章 例题讲解 当?d1时，系统单位阶跃响应为： 第三章 例题讲解 其中， 1) 上升时间 根据上升时间的定义有： 从而： 第三章 例题讲解 即： 2) 峰值时间 令xo1(t) = 0，有： 因此： 第三章 例题讲解 其中： 第三章 例题讲解 3) 最大超调量 利用： 解得： 第三章 例题讲解 4) 调节时间 下面分析 “比例＋微分” 控制对系统性能的影响。由于： 可见，“比例＋微分”控制不改变系统的固有频率，但可增加系统的阻尼比，减少超调。 其中： 第三章 例题讲解 上式中第一项为典型的二阶系统，第二项由 “比例＋微分”控制作用引入的零点所产生，且第二项为典型二阶系统的传递函数乘以s以及微分时间常数?d，而s表示了微分算子，因此，从时域上看，第二项的时间响应等于原系统的时间响应的导数乘以?d。 第三章 例题讲解 进一步，注意到： 第三章 例题讲解 当?d1时，典型二阶系统的单位阶跃响应为： 其导数为： 第三章 例题讲解 t (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 xo(t) “比例＋微分”系统 原系统 xo1(t) ?dxo1(t) “比例＋微分”控制可提高系统的响应速度。 即“比例＋微分控制”不影响系统的稳态误差。尽管如此，由于增加了系统的阻尼，因此在保证一定的动态性能条件下，允许系统选用较大的开环增益以改善稳态精度。 但是，微分的引入会导致系统抗噪性能下降。 此外，引入“比例＋微分控制”后，系统仍为I型系统，稳态速度误差系数不变： 第三章 例题讲解 例3.3 测速反馈系统方框图如下： 分析测速反馈对二阶系统性能的影响。 Kts Xi(s) Xo(s) 0?1 G0(s) 第三章 例题讲解 解：系统开环传递函数为： 闭环传递函数为： 其中： 显然测速反馈系统仍为典型的二阶系统。 第三章 例题讲解 测速反馈不改变系统的固有频率，但增加了系统的阻尼比，降低了超调，对小阻尼比系统引入测速反馈，可改善系统的动态性能。 此外，引入测速反馈后，系统仍然为 I 型系统，稳态误差的基本特性不变，但系统的开环增益由 第三章 例题讲解 稳态速度误差由 即引入测速反馈增加了的系统稳态误差。 尽管如此，对实际的控制系统G0(s)极点不变，但增益可调，传递函数可表示为： 第三章 例题讲解 引入测速反馈后，开环传递函数： 闭环传递函数： 由于系统存在K0和Kt 两个可调参数，因此，可以将原系统增益K0加大，再适当选择Kt ，以保证稳态误差不变，而系统的动态特性得到改善。 第三章 例题讲解 即满足： 其中?t为期望的阻尼比， K0为调整后的增益。 解得： 第三章 例题讲解 例3.4 已知系统方框图如图a)所示： 第三章 例题讲解 1）若希望系统所有闭环特征根的实部小于－1，且?不小于0.5。试绘制特征根在s平面的分布 区域，并求此时K、T的取值范围； Xi(s) Xo(s) a) 第三章 例题讲解 2）试证 在系统输入端引入“比例＋微分” 装置 后（如图 b)所示 ），可使系统对速度信号 的稳态误差达到0。 b) Xi(s) Xo(s) 1＋?ds 第三章 例题讲解 解：1）系统闭环传递函数为： -1 60° 0 Re Im 或： 复根时，极点与负实轴的夹角为： ?＝0.5时，幅角为：60° 特征根分布区域如右图。 第三章 例题讲解 由： 有： 当? ? 0.5时： 令s?s – 1，系统特征方程变为： 第三章 例题讲解 由劳斯判据，有： 综上所述： T K 0 0.5 2 0.5 第三章 例题讲解 2）系统b)的闭环传递函数为： 由 xi(t) = at (a为常数)输入下的稳态误差： 易知， 时系统对速度信号的稳态误差达到0。 第三章 例题讲解 例3.5 已知4个二阶系统闭环极点分布图如下： 试比较其性能。 Re Im 0 I II II I