[理学]05代数系统.ppt

离散数学 离散数学 二、与同态相关的概念（续） 例：设V1 = R, +，V2 = R, ?，令? : R ? R， ? (x) = 2x，验证? 是V1到V2的同态映射。 ? (x + y) = 2(x + y) = 2x ? 2y = ? (x)?? (y)， 则? 是V1到V2的同态， 解：对? x, y?R ，有 离散数学 一、同态的概念（续） 如：V1 = Z, +，V2 = Zn, ?，其中+为普通加法， Zn = { 0, 1, … , n –1 }，?为模n加法。 即对? x, y?Zn，有x ? y = (x + y) mod n。(p176 表9.9) 令映射? : Z ? Zn，? (x) = x mod n， 于是对? x, y?Z，有? (x + y) = (x + y) mod n = (x mod n + y mod n) mod n = (x mod n) ? ( y mod n ) = ? (x) ? ? (y)， 因此? 是V1到V2的同态。 离散数学 二、与同态相关的概念 设? 是V1= S1, ? 到V2= S2, ? 的同态, (2) 若? 是单射的，则称?为V1到V2的单同态。 (1) 若? 是满射的，则称?为V1到V2的满同态。 记为V1 V2。 (3) 若? 是双射的，则称?为V1到V2的同构。 记为V1 V2。 (4) 若V1 = V2，则称? 为V1的自同态。 若? 又是双射的，则称? 为V1的自同构。 离散数学 当a ? ? 1, 0时, ?a 是单射的, 称?a 为V的单自同态。 解：因为对? x, y?Z，有 二、与同态相关的概念（续） 例5：设V = Z, +，给定a?Z，令?a : Z ? Z， ?a (x) = ax，验证?a 是V的自同态。 当a = 1(或-1)时, 对? x?Z, 有? 1(x) = x (或?-1(x) = -x), 而? 1和?-1都是双射的, 则? 1(或?-1)为V的自同构。 ?a (x + y) = a(x + y) = ax + ay = ?a (x) + ?a (y)， 则?a 是V 到V的同态，即是V的自同态。 当a = 0时, 对? x?Z, ? 0(x) = 0, 称? 0为V的零同态。 离散数学 二、与同态相关的概念（续） 例6：设V1 = R, +，V2 = R, ?，令? : R ? R， ? (x) = 2x，验证? 是V1到V2的单同态。 ? (x + y) = 2(x + y) = 2x ? 2y = ? (x)?? (y)， 则? 是V1到V2的同态， 其次，对于? x, y?R，当x ? y时，2x ? 2y， 即? (x) ? ? (y)， 解：对? x, y?R ，有 从而，? 是V1到V2的单同态。 则? 为单射的， 离散数学 三、同态概念之推广 具有两个二元运算的代数系统之间的同态： 设代数系统V1 = S1, ? , ? ，V2 = S2, ? , ? ， 其中? , ? , ? , ?是二元运算，若映射? : S1 ? S2 满足对任意的x, y?S1 ，有： (1) ? (x ? y) = ? (x) ? ? (y)， (2) ? (x ? y) = ? (x) ? ? (y)， 则称? 是V1到V2的同态。 离散数学 三、同态概念之推广（续） 具有一元运算的代数系统之间的同态： 设代数系统V1 = S1, ? , ? ，V2 = S2, ? , ? ， 其中? , ?是二元运算，? , ?是一元运算， 若映射? : S1 ? S2满足对任意的x, y?S1 ，有： (1) ? (x ? y) = ? (x) ? ? (y)， (2) ? (?(x)) = ? (? (x)) ， 则称? 是V1到V2的同态。 离散数学 三、同态概念之推广（续） 具有代数常数的代数系统之间的同态： 设代数系统V1 = S1, ? , k1，V2 = S2, ? , k2， 其中? , ?是二元运算，k1?S1，k2?S2是代数常数。 若映射? : S1 ? S2满足下列条件： (1) ? x, y?S1，有? (x ? y) = ? (x) ? ? (y)， (2) ? (k1) = k2， 则称? 是V1到V2的同态。 离散数学 三、同态概念之推广（续） 例7：设V1 = R, +, 0，V2 = R, ?, 1，令?