[理学]06方程求根的数值解法.ppt

第六讲方程求根的数值解法 第六讲　主要知识点 一般迭代法 一般迭代法（续） 牛顿法 牛顿法几何表示 牛顿法几何表示（续1） 牛顿法几何表示（续2） 牛顿法例题 牛顿法例题（续） 牛顿法的收敛性 牛顿法收敛性示意图 牛顿法收敛性示意图（续） 牛顿法例题 收敛速度定义 收敛速度定理 收敛速度定理证明 牛顿法的收敛速度 牛顿法应用 牛顿法优缺点 牛顿下山法 例题分析 弦截法 弦截法（续） 弦截法的又一思想 弦截法几何表示 单点弦截法 双点弦截法 例题分析 本讲结束！ 谢谢大家！ 再见！ * * 1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式； 2、牛顿法的收敛性； 3、牛顿法的收敛速度； 3、弦截法思想。 　　由前面的讨论可知，选择合适的迭代函数 　 ，是提高迭代数列 　 的收敛速度的关键。本节介绍一种确定迭代函数 　　的方法 ── 牛顿法。牛顿法是求解方程 　 的一种重要方法，它的最大优点是方程在单根附近具有较高的收敛速度，它还可以用于求代数方程的重根、复根；也可以拓广用于求解非线性方程组的问题。 取 在 x0 做一阶Taylor展开: 将 看成高阶小量，则有： 只要 ，每一步迭代都有 ， 而 且 ， ，则 的根。 （牛顿公式） ，? 在 x0 和 x 之间。 令其为零，得切线 与 轴的交点为 　　从几何的角度来分析一下牛顿公式的直观结构，方程 　 的根就是曲线 　　 与 轴的交点。设 　 为 的一个近似值，过曲线 　　 上横坐标为 的点 　　 ，引一条切线，其方程为 将此式 　　　 与上面求得的牛顿 公式 　　　 进行比较即可知道：牛顿公式实际上就是用曲线 　　在　　　　　　 点 处的切线与 轴的交点作为曲线 　 与 轴交点的近似，如下图所示． x* x0 x1 x2 x y f(x) 例 用牛顿法求解方程 在 附近的根 解：将方程 转化为等价方程 令 ，则牛顿迭代公式为 ，迭代结果如下表3.6 ，迭代结果如下表 取初值 0.5671432 0.5671433 0.5671555 0.5710204 0.5 4 3 2 1 0 　，与例4、例6的迭代结果进行比较可见，牛顿公式的收敛速度是相当快的。 注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 　　Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时， Newton法无法进行。 （1）选取初始近似值x0； （2）取下山因子? = 1； （3）计算 （4）计算f (xk+1)，并比较 与 的大小，分以下二种情况 否则若?≤??，而 时，则把xk+1加上一个适当选定的小正数， 即取xk+1+?作为新的xk值，并转向（3）重复计算；当?＞??；且 ， 则将下山因子缩小一半，取?/2代入，并转向（3）重复计算。 牛顿下山法计算步骤可归纳如下： 1）若 ，则当 时，取x*? xk+1，计算过程结束； 当 时，则把xk+1作为新的xk值，并重复回到（3）。 2）若 ，则当?≤??且，取x*? xk，计算过程结束； 例5：求方程 的根 k ? xk 0 1 0.6 1 1/25 1.14063 2 1 1.36681 3 1 1.32628 4 1 1.32472 牛顿下山法的计算结果： 则得双点或单点弦割法迭代格式 在牛顿