[理学]1-1 n阶行列式.ppt

一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三 全排列及其逆序数的定义 对换的定义 对换与排列的奇偶性的关系: n阶行列式的定义 小 结 观察三阶行列式的特征： 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． 四、n 阶行列式 （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义 阶行列式也可定义为 更一般的我们有: 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5、 的符号为 例1　计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零， 所以 只能等于 , 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例2 计算上三角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 例3 同理可得下三角行列式 例4 证明对角行列式 证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕 例5　用行列式定义计算 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 * * 第一章 行列式 中南财经政法大学信息系 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 称为二阶行列式。 定义 对角线法则 主对角线 副对角线 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例1 解 三元线性方程组 其解是否也能用类似的行列式来表示？？ 定义 上式称为三阶行列式. .列标 行标 对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 则三元线性方程组的解为: 若记 例２ 解 按对角线法则，有 例3 解 方程左端 例4 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 中，6项的行下标全为123，而列下标分别为 在三阶行列式 123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号 为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆序数的概念及性质。 符号与下标的排列有关 定义 由 组成的一个有序数组 称为一个n级排列。 n级排列的总数： 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 定义 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 0 1 故此排列的逆序数为 2+1+ 2 + 0 + 0 =5. 分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有 这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 方法1 向后法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有 这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 方法2 向前法 例 求排列32514的逆序数. 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种变换叫做对换． 例如 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 经对换后逆序数增加1 。 经对换后逆序数减少1. 因此对换相