[理学]1-1线性代数.ppt

问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示. 显然 即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法. 所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”. 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 　　分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个 元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数. 计算逆序数的方法 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 所以，t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18 奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 故，以上是偶排列。 思考：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列. §3 n阶行列式的定义 一、概念的引入 规律： 三阶行列式共有6项，即3!项． 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1、2、3的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 所以，三阶行列式可以写成 其中 表示对1、2、3的所有排列求和. 二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形. 二、n 阶行列式的定义 n 阶行列式共有 n! 项． 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1, 2, …, n 的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 简记作 ， 其中 为行列式D的(i, j)元 练习 题板计算，思考计算过程对错. 例： 写出四阶行列式中含有因子 的项. 例： 计算行列式 解： 和 解： 其中 四个结论： (1) 对角行列式 (2) (3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0） (4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0） 思考题：用定义计算行列式 解：用树图分析 -1 1 3 3 1 2 3 -1 -2 -2 -1 故 1 1 3 0 2 3 0 0 2 1 0 1 1 2 1 0 - - - - = D 思考题 已知 ，求 的系数. 故 的系数为－1. 解 含 的项有两项，即 对应于 思考题： 成立吗？ 答：符号 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 ； 若理解成一阶行列式，则 . 注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 . 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的。 3、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定。 小结 2、对角线法则只适用于二阶、三阶行列式。 * * * * * 线性代数　　　(第五版) 《计算机数学基础》－线性代数初步　 行列式、向量、矩阵、线性代数方程组、矩阵的特征值和实二次型 请求出以下行列式的值： 　　　　　6－4＝2　 　　　　　　　3＋4＋4－4－12－1＝－6 　 第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质