[理学]10-11 wjzh 117 傅里叶级数.ppt

定理1. 函数展开成傅里叶级数 定义在[–?,?]上的函数f (x)的傅氏级数展开法 说明: ★在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 例5.将函数 再求余弦级数. 内容小结 思考与练习 综上： 周期延拓F(x)得G(x) f(x)在(0,?)上展成 周期延拓F(x)得G(x) 余弦级数 奇延拓 偶延拓 正弦级数 f(x)在(0,?)上展成 单独验证端点 0,?处 单独验证端点 0,?处 偶延拓 奇延拓 例5 将函数 展成（1）正弦级数；（2）余弦级数 分别展成正弦级 数与余弦级数. 解:先求正弦级数. 去掉端点,将f(x)作奇周期延拓, 注意: 在端点x=0,?,级数的和为0, 与给定函数 因此得 f(x)=x+1的值不同. 将 则有 作偶周期延拓, * 天津市数学竞赛定于5月29日（周日）举行，??? ?1、集合时间：29日（周日）上午7:50；????2、集合地点：北教4；????3、带准考证、学生证或身份证；????4、如果准考证信息有误，集合时与带队老师说明。 请参赛同学课下找我领准考证! 第11章 无穷级数 16学时 习题课5 §11.8 一般周期函数的傅里叶级数 §11.7 傅里叶级数 §11.4 函数展为幂级数 §11.3 幂级数 §11.2 常数项审敛法(Ⅱ) §11.2 常数项级数审敛法(Ⅰ) §11.1 常数项级数概念性质 一、三角函数系的正交性 二、三角级数、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 §11.7 傅里叶级数 证: 同理可证: 正交, 上的积分等于0. 即其中任意两个不同的函数之积在 一. 三角函数系的正交性 三角函数系 上的积分不等于0. 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 回顾 前面讨论了一种特殊的函数项级数——幂级数。 优点：它有广泛的应用，如利用幂级数求某些级数的和；作 近似计算；解微分方程（最后一章的第12节）等。 缺点：用幂级数表示的函数总是无穷可微的，条件太苛刻， 在一定程度上限制了它的应用。 二、三角级数、函数展开成傅里叶级数 在许多实际问题中，经常遇到周期现象( 周期函数)。 振幅 角频率 初相 周期 两个频率相同的简谐波叠加，仍是一个简谐波； 频率不同的简谐波叠加的结果不再是简谐波。 如 ，其叠加结果 是一个较复杂的周期波。 问：一个较复杂的周期波能否分解成若干个简谐波的和？ 物理背景 下面简单演示：不同频率的正弦波逐个叠加 最简单的周期波就是简谐波，通常以正弦函数表示，即 非正弦型周期函数：巨形波 如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面 介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数组成的级数 在实际问题中，把一个比较复杂的周期运动看成一系列不同频率的简谐振动的叠加 三角级数 本节主要讨论两个问题 1)一个周期函数 f(t),在什么条件下可以展成三角级数? 2)如果f(t)能展成三角级数,三角级数中各个系数如何确定? 定理2.设f(x)是周期为2?的周期函数,且 右端级数可逐项积分,则有 ① ② 定理2.设f(x)是周期为2?的周期函数,且 右端级数可逐项积分,则有 ① 证:由定理条件, ② 对①在 逐项积分,得 (利用正交性) 类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得 叶系数为系数的三角级数①称为 的傅里叶系数; 由公式②确定的 ① ② 以 的傅里 的傅里叶级数. 称为函数 傅里叶级数 问题: 以上我们是在f ( x ) 可以展开成三角级数并可以逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个前提 只要公式中的积分都存在，就可以定出系数 并可写出 f ( x ) 的傅立叶级数 至于这个级数是否收敛，如收敛是否收敛到f ( x )的问题 ，有以下定理 定理:(收敛定理)(狄利克雷(Dirichlet)充分条件) 收敛于 注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多. 例1： f ( x )在一个周期内的表达式为 解 f ( x )如右图所示 满足收敛定理的条件 展开步骤 ①作图 ③根据公式计算Fourier系数 ④写出Fourier 级数展开式, 并注明展开式的成立范围 ②验证f(x)满足Dirichlet条件,并确定f(x)的所有间断点 结合图形进行分析、判断 找出f(x)可以展成Fouri