[理学]10-67 Gauss公式.ppt

三、物理意义----通量与散度 四、小结 一、斯托克斯(stokes)公式 三、物理意义---环流量与旋度 五、小结 积分概述 积分计算 积分应用 场的数学 引力场中的引力线 平面有向曲线 空间有向曲线 同理可证 故有结论成立. ［情形2］曲面? 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过 作辅助线、面把 ? 分成与平行z 轴直线只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 另一种形式 便于记忆形式 ---- 斯托克斯公式 解 按斯托克斯公式, 有 二、简单的应用 解 则 即 即 三代： 二换： 一投： 【例3】 ? 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 【解】 设?为平面 z = y 上被 ? 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 平面 y = z 1. 环流量的定义: 利用Stokes公式, 有 2. 旋度的定义: 斯托克斯公式的又一种形式 其中 斯托克斯公式的向量形式 其中 Stokes公式的物理解释: 解 由力学知道点 的线速度为 观察旋度 由此可看出旋度与旋转角速度的关系. 由此可看出旋度与旋转角速度成正比. 点M的线速度为 四、空间曲线积分与路径无关的条件 斯托克斯公式 解 斯托克斯公式的物理意义 斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式 梯度、散度、旋度 数量函数 矢量函数 数量函数 矢量函数 请关注各积分的几何、物理背景！ 平面、空间 N—L 公式： 曲线积分的计算 曲面积分的计算 曲面积分 定积分 相互关系 二重积分 三重积分 曲线积分 Ⅰ 型 Stokes Ⅰ 型 Ⅱ 型 Ⅱ 型 Gauss Green 2011／04／11 梯度、散度、旋度 曲线积分和曲面积分以及相关的定理，在电磁学、流体力学、理论力学和理论物理等分支中，有着广泛的应用。 场是物理学最重要的概念之一，比如我们通常所说的引力场、电场、磁力场和温度场等等，如撇开具体的物理含义，我们可从数学的角度来定义和研究场。 要了解某一物理现象，就必须掌握这一物理现象的各种物理量的分布情况以及它们随时间变化的规律.例如，预报某一地区某一时间气温，就必须掌握附近的气压、气温的分布及变化情况。上面所说的气压、气温都是由空间位置及时间所确定的物理量，它们在空间的分布就称为场。 若某一物理现象的场与时间无关——稳定场 若某一物理现象的场与时间相关——不稳定场 物理现象的场与坐标系无关，为了从数学的角度来定义和研究场，又必须在某个坐标系下进行计算、分析，建立坐标系后，场与一三元或四元函数对应。 如温度场，流体密度等. 如重力场，静电场，磁场等. 若在空间的某个区域V中的每一点都有一个数量与之对应，则称在V上定义了一个数量场； 若在空间的某个区域V中的每一点都有一个向量与之对应，则称在V上定义了一个向量场； 与时间无关称为稳定场 建立坐标系后，场与函数对应. 沿此方向, 方向导数取最大值 静电场中的电力线 * 三、物理意义----通量与散度 一、高斯公式 二、简单应用 四、小结 思考题 第六节 高斯公式通量与散度 引言 N—L 公式： Green 公式： 三者共性（实质）： 把内部问题转化为边界问题来处理. Gauss 公式： 一、高 斯 (Gauss) 公 式 条件 结论 高斯公式的证明 同理证明其他二项。 【注】 可通过补面、挖洞将Ω分成几个有限的小区域使之都满足上述条件， 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公 式对这样的区域也成立， 2. 若Ω不满足上述条件， 1.公式成立的条件 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 3.由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式： 二、简单的应用 比较： 曲面 ? 不是封闭曲面，不能直接用高斯公式。 奇偶性 拉普拉斯算子 Hamilton算子 设函数 和 在闭区域 上具有一阶及二阶连续偏导数，证明 其中Σ是闭区域 的整个边界曲面， 为函数 沿Σ的外法线方向的方向导数