[理学]11 不定积分的概念与性质.ppt

* 例5 求积分 解 根据积分公式(2) * （2） （3） * 证 （此性质可推广到有限多个函数的情形） (2) 三、 不定积分的性质 * 例6 求积分 解 原式 * 解 原式 * 解 原式 * 解 原式 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. * +C +C * +C (8) +C * ?tan x?x (9) ?C. (10) ?C. (11) ?C. * 解 所求曲线方程为 例 7 * 基本积分表 不定积分的性质 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 四、 小结 * 导数的定义 定义 , ) ( , ) ( , 0 ); ( ) ( , ) ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 0 x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y = = ? D D D - D + = D D + D = 记为 f ′ 处的导数 在点 数 并称这个极限为函 处可导 在点 则称函数 时的极限存在 之比当 与 如果 得增量 取 相应的函数 时 仍在该邻域内 点 处取得增量 在 当自变量 有定义 的某个邻域内 在点 设函数 (x0), * * 导数的定义 * 其它形式 即 , 0 x x y = ￠ * * * * 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 第四章 不定积分 * 定义1 一、原函数与不定积分的概念 如果在区间 I 上，可导函数F(x)的导函数为f (x)，即 都有 则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。 例 或 ， 时， ， * 问题： (1) 原函数是否存在、是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ (3) 若存在原函数，原函数如何求? 例 （ 为任意常数） * 原函数存在定理 连续函数一定有原函数. 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I 上存在可导函数F(x)， 都有 问题： 原函数是否存在、是否唯一？ 若存在原函数，原函数如何求? 若不唯一它们之间有什么联系？ * 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 简言之：连续函数一定有原函数. * * 原函数的性质： (1) 如果函数 f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么F(x)?C都是 f(x)的原函数，其中C是任意常数. 如果函数f(x) 有一个原函数，那么 f(x)就有无限多个原函数. (2) 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数。 则 （C为任意常数） 即 若F(x)和G(x)都是函数f(x)的原函数， * * (2) 函数 f(x)的任意原函数之间只差一个常数。 则 （C为任意常数） 即 若F(x)和G(x)都是函数f(x)的原函数， 如果F(x)是 f (x)的一个原函数，那么F(x)+C（C为任意常数）可以表示 f (x)的任意一个原函数。 （C为任意常数） * 定义2 不定积分的概念 在区间I上， 不定积分中各部分的名称： ? ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量. * 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 积分常数 如果F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)?C就是f(x)的不定积分,即 不定积分 可以表示 f (x)的任意一个原函数。 * * 例1 求 解 解 例2 求 * 例3 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 已知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 * 解 * * 函数f(x)的积分曲线也有无限多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率. 2x的积分曲线 积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. * 若 ，则有 结论： 不定积分与微分运算的关系 如果不计任意常数，微分运算与求不定积分的运算是互逆的. * 实例 启示 能否根据求导公式得