[理学]19区间估计.ppt

概率与统计第十九讲 区间估计 主讲教师: 于红香 e-mail:fishr2001@163.com 正态总体均值与方差的区间估计 单个总体 的情况 两个总体 的情况 课堂练习 小结 布置作业 因为 相互独立 , 所以 相互独立 . 故 或 于是得到 的置信水平为 的置信区间为 为未知 其中 概率论与数理统计 对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述； 对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。 学习要求 理解区间估计的概念 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间 第四节 区间估计 第四节 区间估计 置信区间定义 置信区间的求法 单侧置信区间 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . 我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ， 称为置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 一、 置信区间定义 满足 设 是 一个待估参数，给定 X1,X2,…Xn确定的两个统计量 则称区间 是 的置信水平（置信度 )为 的置信区间. 和 分别称为置信下限和置信上限. 若由样本 可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大 . 即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. ~ N(0, 1) 选 的点估计为 , 求参数 的置信度为 的置信区间. 例1 设X1,…Xn是取自 的样本， 寻找未知参 数的一个良 好估计. 解 寻找一个含待估参数 的随机变量的函数 ， 要求其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率. 二、置信区间的求法 从中解得 对给定的置信水平 查正态分布表得 使 也可简记为 于是所求 的 置信区间为 从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下: 1. 寻找参数 的一个良好的点估计 T(X1,X2,…Xn) 2. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T, ),且其分布为已知. 3. 对于给定的置信水平 ，根据U(T, )的分布，确定常数a, b（一般为分位数） ，使得 P(a U(T, )b) = 4. 对“aU(T, )b”作等价变形,得到如下形式: 即 于是 就是 的100( )％的置信区间. 可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个 待估参数 和估计量T 的函数U(T, ), 且U(T, ) 的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 . 而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是 否已知，是怎样的类型，至关重要. 在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的置信区间的长度为最短. 需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ，置信区间也不是唯一的. 即使在概率密度不对称的情形，如 分布， F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间. 我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于 1 的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长. 三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时, 可将置信上限取为+∞ ，而只着眼于置信下限 ，这样求得的置信区间叫单侧置信区间. 于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足 设 是 一个待估参数，