[理学]1n阶行列式.ppt

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2018-02-19 发布于浙江
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[理学]1n阶行列式

例13 计算行列式解当x＝0 或y＝0时，显然D＝0，现假设x≠0，且y≠0，由引理知返回上一页下一页推论行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即证返回上一页下一页当i?j,将式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得同理可证返回上一页下一页代数余子式的重要性质: 返回上一页下一页例15 计算n阶行列式(递推公式法) 解由行列式Dn可知将Dn按第1列展开返回上一页下一页这个式子对任何n(n?2) 都成立,故有返回上一页下一页习题 1 设排列的逆序数为k，问的逆序数为多少？解：返回上一页下一页 2 解：返回上一页下一页 3 解：返回上一页下一页 4 解：不等于的元素个数所以行列式的值为零。 5 计算行列式返回上一页下一页解：首先考虑n＋1阶范德蒙行列式返回上一页下一页二者应相等，故例用化三角形的方法求下面行列式返回上一页下一页例用行列式分解的方法求行列式返回上一页下一页解：此行列式可表为个n阶行列式之和练习返回上一页下一页例用递推关系法求行列式解：由引理将行列式降阶展开返回上一页下一页返回上一页下一页练习返回上一页下一页 §6 克拉默法则克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零,即那么,方程组有唯一解其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中的第j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式. 返回上一页下一页证明 (1) 方程组简写为把方程组的唯一解代入第i个方程,左端为返回上一页下一页所以 (2)用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,…,Anj依次乘方程组的n个方程,再把它们相加,得当D不等于零时,方程组有唯一解. 返回上一页下一页例17 解线性方程组解返回上一页下一页于是方程组有解 x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1 返回上一页下一页克拉默法则亦可叙述为定理4 如果线性方程组的系数行列式D?0,则方程组一定有解,且解是唯一的。当方程组右边的常数项全部为零时,方程组变为齐次线性方程组. 它总有解 x1=0,x2=0,…,xn=0,称为齐次线性方程组的零解。返回上一页下一页推论如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式必为零。定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐次线性方程组没有非零解。例若齐次线性方程组有非零解，则t应满足什么条件？解由定理5,要方程组有非零解，其系数行列式必为零. 返回上一页下一页例18 问?为何值时，齐次线性方程组有非零解？解方程组的系数行列式为返回上一页下一页若方程组有非零解,则它的系数行列式D=0,从而有? =2, ? =5, ? =8。容易验证,当? =2, ? =5,或? =8时,齐次线性方程组有非零解. 返回上一页 * 第一节　全排列及逆序数第二节　n阶行列式的定义第三节　对换第四节　行列式的性质第五节　行列式按行(列)展开第六节　克拉默法则第一章 n 阶行列式 §1 全排列及逆序数定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为一个n 级全排列（简称排列）。定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序（反序）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。一个排列j1, j2,…,jn的逆序数，一般记为 ?(j1, j2,…,jn) 上一页下一页返回定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。排列12的逆序数为 0。排列215479683的逆序数为排列231的逆序数为 11。 2。排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是 n(n-1) 。返回上一页下一页 §2 n阶行列式的定义定义4 设有n2个数aij（i，j＝1，2，…, n），排成正方阵形式在不同行、不同列中取n个数作乘积，并乘以符号（其中J为列标排列j1, j2,…,jn的逆序数），记为，这样的乘积有