[理学]2-2数学物理方程.ppt

§2.2 有限长杆上的热传导 §2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 * * 一均匀细杆长为 l，在 x=0 端温度为0度，且保持温度不变， x=l 端与外界绝热。已知初始时刻温度分布为 试求细杆上温度的变化规律。 令 代入方程及边界条件中, 并引入参数 得 当 或 时, 特征问题 当 时, 由边界条件 从而 亦即特征根 特征函数为： T 的方程 解得 所以 代入初始条件 比较系数得： 注：对于波动方程和热传导方程而言, 边界条件唯一确定了其特征值和特征函数。 特征值 特征函数 取值范围 一 一 一 二 二 二 二 一 注：用分离变量法求解第三类边界条件(齐次)的定解 问题时，其过程与第一类边界条件相同，但在确定特征值时，一般比较复杂。 练习．细杆的热传导问题 长为 的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 设 且 得本征问题 由 及齐次边界条件，有 当 或 时, 当 时, 由 得 由 得 故 即 令 有 函数方程 r y 图 1 由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根 故本征值为： 对应的本征函数 的方程： 解为 故 由初始条件得 将 展成以 为基底的付氏级数， 确定 可以证明 函数系 在 上正交 （二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）将 叠加，利用初始条件确定系数 （一）将偏微分方程化为常微分方程 －－（方程齐次） 分离变量法解题步骤 －－（边界条件齐次） 练习： 求下列定解问题的解 其中 矩形域上拉普拉斯方程 考虑矩形薄板稳恒状态下的温度分布问题。 设薄板上下两面绝热，板的两边 (x=0, x=a) 始终保 持零度, 另外两边 ( y=0, y=b) 的温度分别为 f(x) 和 g(x) , 求板内稳恒状态下的温度分布规律。 解：用 u(x, y) 表示板上 (x, y) 点处的温度。定解 问题为： 应用分离变量法 ，将想象 y 为时间，将(2.3.3)看作 (齐次) 边界条件。 设 且 代入方程 (2.3.1), 分离变量得 由边界条件可以知道：X(0)=X(a)=0，也就是说 这个常微分方程的特征值和特征函数分别为： 代入到关于 y 的方程 得到 Y(y) 的 一组解： 从而得到方程(2.3.1)满足条件(2.3.3)的一组特解： 方程(2.3.1)和边界条件(2.3.3)都是线性齐次的，由叠加原理 仍满足方程(2.3.1)和条件(2.3.3)。 考虑到 (2.3.2)：u(x,0) = f (x), u(x,b) = g (x), 得 提示：将第三式看作边界条件。 圆域上的拉普拉斯方程 考察一个半径为 的圆形薄板，板的上下两面绝热，圆周边界上的温度已知函数 且 求稳恒状态下的温度分布规律。 解：稳恒状态下的热传导方程满足拉普拉斯方程。 由于是圆形区域， 不能分解， 为了应用分离变量法，采取极坐标变换： 用 表示圆形板内 点的温度，则问题 可以转换（如何转化？）为解定解问题： 自然边界条件 周期性条件 设方程(2.3.4)满足条件 (2.3.5)—(2.3.7)的解为: 代入到原方程得: 分离变量,令其比值为常数 由此得到两个常微分方程: 由自然边界条件和周期性条件知： 于是得到常微分方程的定解问题： 由于条件 满足可加性,