[理学]2005年数学考研真题分类解析.doc

2005年数学考研真题分类解析 第一部分 高等数学 一、函数、极限与连续 1．（数二）当时，与是等价无穷小，则k= . 【分析】 题设相当于已知，由此确定k即可. 【详解】 由题设， = =，得 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算. 2．（数二）设函数则（ ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ，所以x=0为第二类间断点； ，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：， 从而， 3．（数二）设函数f(x)连续，且，求极限 【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形. 【详解】 由于,于是 == == 【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则 = 错误的原因：f(x)未必可导. 4．（数三、数四）极限= 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 = 【评注】 若在某变化过程下，，则 5．（数三、四）求 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 【详解】 = = = 【评注】 本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量的等价代换进行简化. 二、导数与微分 1．（数一）设函数，则f(x)在内( ) (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当时，； 当时，； 当时， 即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C). 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 2．（数二）设，则 = . 【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： =，于是 ， 从而 = 方法二： 两边取对数，，对x求导，得 ， 于是 ，故 = 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式. 3．（数二）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 【分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标. 【详解】 当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是 ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： ， 令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：, 故应(A). 【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错. 三、中值定理与导数的应用 1．（数一）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在 使得； （II）存在两个不同的点，使得 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论. 【详解】 （I） 令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-10, F(1)=10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即. （II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得， 于是 【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 2．（数一）曲线 的斜渐近线方程为 【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=，