[理学]2013必威体育精装版高数复习题_高数课内习题答案.doc

第一章 习题1-1 1．求下列函数的自然定义域： (1) ； 解：(1)解不等式组得函数定义域为; 2．已知函数定义域为，求的定义域． 解：函数要有意义，必须，因此的定义域为； 同理得函数定义域为 ； 函数要有意义，必须，因此，（1）若，定义域为：；（2）若，定义域为：；（3）若，定义域为：． 第二节 例1.2.3　证明． 证　，由于 即．取，则当时， 恒有 ． 故． 习题1-2 4．根据极限的定义证明： (1) （为常数）；　 (2) ； (3) ； (4) ；　　　 (5) . 解： (1) ，若，则任取正整数，当时, 总有；若，要使，只需，取正整数，当时,总有，综上可得； (2) ,要使, 即,取,当时, 总有, 则； (3) ,要使，只要，取，则当时，总有，所以； (4) 对，要使，取，当时，总有，所以； (5) 对，有, , 要使,只要,即,取，则当时,有,故有． 习题1-3 1.(16) = ==． 4．已知，其中为常数，求和的值． 解：因为 ，所以，则． 第四节 例1.4.6　求． 解　令，则，当时，有．于是由复合函数的极限运算法则得 习题1-4 1．计算下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 2．计算下列极限 (1) ； (2) ； 解：(1)； (2) ； 习题1-5 利用等价无穷小的性质，求下列极限： (2) （是不为零常数）； (3) ；　　　　(4) ； (5) ；　　　 解：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)解： ；　 另解： 也可改为练习： (9) ,其中,均为常数. 　　　　　　　． 8．当时，若与是等价无穷小，试求． 解：依题意有， 因为当时， ，， 所以 故． 习题1－6 2．讨论下列函数的间断点的类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续． (1) ；　　　　　　　 　 (2) (3) ；　　　　　　 (4) ； (5) ；　　　 (6) 解：(1) 为跳跃间断点； (2) 因为，所以为可去间断点，补充定义，则函数在内连续； (3) 为跳跃间断点； (4) 因为，所以为可去间断点，补充定义，则函数在内连续； (5) 为可去向断点，若令,则在连续；为第二类间断点． (6) 因为，所以为可去间断点，补充定义，则函数在内连续； 3．当取何值时，函数在处连续． 解：因为所以，依题意有=0. 习题1-7 2．求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；　 (5) ； (6) ； (7) ． 解：(1) 因为是在点处连续，所以； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) (7) 3．证明：已知，求常数的值． 解：因为 ， 则，所以． 第一章复习题A 一、选择题 5． 设适合，则以下结果正确的是（ 　） A．可取任意实数；　　　 　　B．C．； D．时，下列变量为无穷小的是（　 ） A. ； B. ； C. ； D. 第二章 第一节 例2.13. 讨论函数 在 处的连续性与可导性. 解：因为f(0)=0, ,所f(x)在x=0处连续.但是 (不存在). 故函数f(x)在x=0处不可导. 习题2.1 10. 讨论下列函数在处的连续性与可导性： （1）； （2）； （3） 解：（1），所以函数在处连续。 而 ，所以函数在点处不可导. （2），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处可导. （3），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处不可导. 11. 设在处可导，求，的值。 解：要使函数在处连续且可导，则应满足 存在， ， 又 ， 要使存在，则， 。 习题2.2 4. 求下列函数的导数（其中是常数）: （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1） (2) (3) (4) (5) (5) 解： 7. 求下列函数的导数： （1） （2） 解：（1） （2） 8. 求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 解：（1） （2） （3） ，于是， （4）