[理学]23连续函数.ppt

函数与极限 二、函数的间断点 三、连续函数的和、差、积、商的连续性 四、反函数与复合函数的连续性 五、初等函数的连续性 六、最大值和最小值定理 七、零点定理与介值定理 定理1 例如, 该定理利用函数极限的四则运算可以直接得到。 推论 有限个在某点连续的函数经有限次的四则运算后，只要分母在该点不为零，得到一个仍在该点连续的函数. 例如, 而该函数是由连续函数经过四则运算而成的初等函数，易知该函数在它的定义域内连续。 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 意义 极限符号可以与函数符号互换; 定理3 连续函数的复合函数仍是连续函数. =f[g(x0)] 例如, 由定理容易得到幂指函数的极限公式： 函数 g(x)h(x) 称为幂指函数,它的定义域 一般应要求g(x) 0. 时,幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数. 当g(x)与h(x)均为连续函数,且g(x) 0 例如 三角函数及反三角函数在它们有定义的区间内是连续的. ★ ★ ★ 定理4 基本初等函数在其有定义的区间内是连续的. ★ (均在其定义域内连续 ) 定理5 一切初等函数在其有定义的区间内都是连续的. 有定义的区间是指包含在定义域内的区间（即定义域的子区间）. 幂函数 例1 解 注意　 初等函数求极限的方法代入法. 练 习 题 解 例2 解 y = ln u 在其定义域内连续, 故 （ y = ln u 在 u = 1 处连续） 例3 解 定义: 例如, 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有界且一定能取得它的最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立; 2.若区间内有间断点,定理不一定成立. * * 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由连续函数的定义可知： 3.单侧连续 函数在点x0 连续,等价于它在点 x0 既左连续又右连续. 定理 例2 解 该函数在点x=0处右连续但不左连续 , 讨论函数f (x) = x2, x ?1, 在 x = 1处的连续性. ? 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续. 故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的. x + 1, x 1, 但由于 解 练 习 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例3 证 函数间断点的分类 函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点 跳跃 可去 无穷 振荡 其它 1.跳跃间断点 第一类间断点 例4 解 练 习 解 2.可去间断点 例5 解 练 习 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如练习中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 第一类间断点的特点： 第二类间断点 例6 解 练 习 解 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 ★ 函数间断点的分类 函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点 跳跃 可去 无穷 振荡 其它 练习 * *