[理学]2章导数与微分.ppt

2.1 导数概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 小结 解决求导问题的思路: 一、四则运算求导法则 证: 设 (2) 例1. (3) 例2. 求证 二、反函数的求导法则 例3. 求反三角函数的导数. 三、复合函数求导法则 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例7. 设 六、初等函数的求导问题 2. 有限次四则运算的求导法则 七、高阶导数 定义. 例14. 例15. 设 例16. 设 四则运算的求导法则 一、微分的概念 定义: 若函数 定理 : 函数 微分的几何意义 例如, 二、 微分运算法则 例3. 例4. 设 三、 微分在近似计算中的应用 特别当 例6. 求 本章小结 一、 导数和微分的概念及应用 应用 : 二、 导数和微分的求法 例1 解 椭圆参数方程为 ， 求椭圆在 处的切线斜率 例2 解 已知 ，求 法1：由已知，得 法2： 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 求 解: 求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 数学中的反问题往往出现多值性. 当 很小时, 使用原则: 得近似等式: 很小时, 常用近似公式: 很小) 证明: 令 得 的近似值 . 解: 设 取 则 解: 设 则 类似可求得 利用 , 则 在点 x 可导, 定理3. 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导, 证: 在点 u 可导, 故 （当 时 ) 故有 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 复合函数的求导法则一般称为链式法则 例4 设y=lncos x，求 . 解 令 例5 设 解 令 例6 设 解 求 解: 思考: 若 存在 , 如何求 的导数? 这两个记号含义不同 例8 解 四、隐函数的求导法则 此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数. 隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数,如何来求 y’。 对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等 式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合 函数的求导法则，得到含y’的方程，解出y’即可. 例9 设y=y(x)由 确定，求 . 解 两边对x求导，得 解方程得 例10 求隐函数 的导数 解 例11 求椭圆曲线 处的切线方程和法线方程. 解 切线斜率 法线斜率 所以切线方程为 法线方程为 五、取对数求导法 在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 所谓对数求导法，就是在y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法. 解 用对数求导法，则两边分别取对数 所以 两边对x求导，得 例12 解 例13 所以 1. 常数和基本初等函数的导数 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 说明: 最基本的公式 其他公式 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 1 高阶导数的概念 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 设 求 解: 依次类推 , 思考: 设 问 可得 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例16. 设 求 求 解: 一般地 , 类似可证: ( C为常数 ) 复合函数求导法则 反函数求导法则 小结 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 一、微分的概念 2.4 函数的微分 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 的微分, 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x