[理学]3--内积与正交矩阵.ppt

平面上的旋转变换 平面上的点或向量 (x,y) 沿逆时针方向旋转角度θ，得到新的点，坐标为(x′,y′). 新旧坐标之间有如下关系： * 两个 n 维列向量： 定义 向量的内积（或数量积） 对于列向量有： 同样地，可以定义两个行向量的内积。 数字 注意：关于内积的记号 性质 向量的长度定义为 长度又称为：范数 、 模 若长度为的1向量称为单位向量。另外的记号： 性质 证 向量的正交 定义 则称 ? 与 ? 正交（垂直）， 例 记为 例 则称 ? 与 ? 正交（垂直）， 记为 勾股定理 正交向量组 定义 则称 为正交向量组。 定义 例 为正交向量组。 例 例 在 R3 中， 求向量 ，使 为正交向量组。 设 ， 则有 其基础解系为 注: 也满足条件。 解 定理 证 同理可证其他系数也必定为零。 施密特（Schmidt）正交化 问题： 施密特（Schmidt）正交化 类似可验证其它向量之间是相互正交的。 （三） 正交矩阵 定义 n阶实矩阵 Q，若QTQ=E 则称 Q 为正交矩阵。 例 单位矩阵 E 为正交矩阵。 命题 (x, y) (x’, y’) θ 注意到 P, Q 互为逆矩阵。 正交矩阵的性质： 证10 取行列式： 正交矩阵的性质： 证 这一结论说明正交矩阵保持向量的长度不变。 反之也成立，即保持长度不变的一定是正交矩阵。 3阶正交矩阵在物理学中用来表示刚体的旋转。 定理 ?Q 的列向量组是单位正交向量组 ? Q 的行向量组是单位正交向量组。 Q 为正交矩阵 设 Q 为方阵，则 *