[理学]31矩阵的初等变换与高斯消元法.ppt

3.1.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 一、矩阵的初等变换与初等矩阵 二、矩阵的等价标准形 三、用初等变换求矩阵的逆 3.1.2 高斯消元法 举例 P49 例3.3，3.4 回代过程 行最简形 梯形方程组 定理 对线性方程组AX=B,若将增广矩阵(A|B)用初等行 变换化为(U|V),则AX=B和UX=V是同解方程组 由此,求一个线性方程组的解,可先用初等行变换把其 增广矩阵化为梯矩阵,由此可得到与原方程组同解的 梯形方程组. 以上方法就称为高斯消元法 * * 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 一、矩阵的初等变换与初等矩阵 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 有限次初等变换前后的矩阵称为等价 定义 对单位矩阵E施行一次初等变换后得 到的矩阵称为初等矩阵 (1)初等对换矩阵 ( ) i列 j列 行 行 ( ) (2)初等倍乘矩阵 i列 行 ( ) (3)初等倍加矩阵 i列 j列 行 行 初等矩阵的转置仍为初等矩阵。 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 例：计算 定理： 解： 例： 定义 二、矩阵的等价标准形 如果一个矩阵具有如下特征，则称为行阶梯形矩阵，简称梯矩阵 (1)零行位于全部非零行的下方(如果有零行的话) (2)非零行的首非零元的列下标随其行下标的递增而严格递增 (1) (2)=可划出一条阶梯线,线的下方全为零 (2)=每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非零元． 定义 如果一个阶梯矩阵具有如下特征，则称为行简化梯矩阵(行最简形) (1)非零行的首非零元为1 (2)非零行的首非零元所在的列的其他元均为0 定理 定理 等价标准形 推论1 定理 对任意 矩阵A,存在m阶初等矩阵 和n阶初等矩阵 使得 推论2 n阶方阵A可逆的充要条件是A的等价标准行为 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘机 等号两边右乘 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 即， 三、用初等变换求矩阵的逆 解： 例： 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆! 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换. 注： 即 初等行变换 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 例： 解： 方法1：先求出 ，再计算 。 方法2：直接求 。 初等行变换 例 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 解 用“回代”的方法求出解： 未知量的个数依次减少 梯形方程组 消元过程 于是解得 上述解方程组的方法称为消元法． 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种线性方程组的初等变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 上述三种变换都是可逆的．所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 记 为矩阵方程组的增广矩阵 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 上例中的消元过程可表示为如下形式