[理学]36 三角多项式逼近与快速傅里叶变换.pdf

3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换 主讲： 施明辉 厦门大学 3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换 当 f ( x ) 是周期函数时，显然用三角多项式逼近f ( x ) 比用代数多项式更合适比用代数多项式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最本节主要讨论用三角多项式做最 小平方逼近及快速傅里叶变换，简称FFT算法. 主讲: 施明辉 厦门大学 33.66.11 最佳平方三角逼近与三角插值最佳平方三角逼近与三角插值 ff (( xx )) 22 π 设设 是以是以 为为周期的平方可积函数周期的平方可积函数，用三角多用三角多 项式. 1 S (x ) a +a cos x +b sin x +L+a cos nx +b sin nx n 0 1 1 n n 2 （（66.11）） 做最佳平方逼近函数. 由于三角函数族 1, cos x, sin x, L, cos kx, sin kx, L 在在 [[ 00 ,22 π]] 上是正交函数族上是正交函数族，于是于是ff (( x )) 在在 [[ 00 ,22 π]] 上的最小上的最小 平方三角逼近多项式 S n (x ) 的系数是 主讲: 施明辉 厦门大学 1 2 π a k ∫0 f ( x ) cos kxdx ( k 0 ,1, L , n ), π （6.2） 1 2 π b k ∫∫00 f ( x ) sin kxdx ( k 0 ,1, L , n ), ππ a k , b k 称为傅里叶系数. 函数f ( x ) 按傅里叶系数展开得到的级数 11 a + ∞∞ ( a cos kx + b sin kx ) （6.3） 0 ∑ k k 2 k 1 就称为傅里叶级数. 主讲: 施明辉 厦门大学 只要f ′(x ) 在 [ 0 ,2 π] 上分段连续，则级数（6.3）一致 收敛到收敛到 ff (( x )) . 对于最佳平方逼近多项式（6.1）有 2 2 2 f (x ) −S n (x ) 2 f (x ) 2 − S n (x ) 2 . 由此可以得到相应于（4.11）的贝塞尔不等式 1 2 n 2 2 1 2 π 2 2 a 0 + ∑ ( a k + b k ) ≤ π ∫0 [ f ( x )] dx . k 1 因为右边不依赖于 ，左边单调有界，所以级数 n