[理学]3xtk高等数学 微分中值定理习题.ppt

例38 解 奇函数 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 列表如下: 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 极大值 拐点 极小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 * 第三章 微分中值定理与 导数的应用 习 题 课 教学要求 典型例题 一、教学要求 1. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange)定理. 2. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理. 3. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数 的单调性和求极值的方法. 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限. 6. 了解曲率和曲率半径的概念并会 计算曲率和 曲率半径. 4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点, 会求解最大值和最小值的应用问题. 会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线). 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (3) 证明恒等式或不等式 (4) 证明有关中值问题的结论 (2) 证明方程根的存在性 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 利用 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在, 若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用 若已知条件中含高阶导数, 若结论中含两个或两个以上的中值, 3.有关中值问题的解题方法 (1) 可用原函数法找辅助函数. (2) 柯西中值定理. 中值定理. (3) (4) 有时也可考虑 多考虑用泰勒公式, 逆向思维, 设辅助函数. 多用罗尔定理, 必须多次应用 对导数用中值定理. 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 (1) 研究函数的性态: 增减, 极值, 凹凸, 拐点, 渐近线, 曲率 (2) 解决最值问题 目标函数的建立 最值的判别问题 (3)其他应用: 求不定式极限; 几何应用; 相关变化率; 证明不等式; 研究方程实根等. 4.导数应用 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例1 设 满足 证明方程 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 1. 证 的存在性. 二、典型例题 例2 证明方程 只有一个实根. 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例3 设 连续,可导,并满足 证明: 有唯一实根. 例4 设 二阶可导,且 又当 证明: 有唯一实根. 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例5 设 证明: 例6 设 可导, 证明:在 的两个零点之间,一定有 的零点. 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例7 设 证明: 例8 设 证明: 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 提示: 例9 设 证明: 例10 设 证明: 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例11 设 证明: 例12 设 证明: 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 证明: 例13 设 例14 设 证明: 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 试证存在 使 例15 设 提示: 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例16 证 介值定理 上分别用 使得 拉氏定理, (1) (2) 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 由(1),有 得 (1) (2) 由(2),有 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例17 设 上有二阶连续导数, 证明: 例18 设函数 上有三阶连续导数,且 证明:至少存在 涉及到函数值与高阶导数时,想Taylor中值定理 结合闭区间上连续函数的最值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 ２．不等式的证明 利用中值定理 利用单调性 利用最值 利用凹凸性 例19 证明: 其中 Lagrange中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例20 证明: 例21 证明: 例22 证明: Cauchy中值定理或单调性 单调性 最值 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例23 设 证明: 例24 证明: 凹凸性 Taylor中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例25 证明: 对 有 Taylor中值定理 在 内可导,且 证明 在 内有界. 例26 Lagrange中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 习题课 例27 证明: 例28 设 证明: L