重整化群理论.PDF

第十章重整化群理论 10.1 引言 相变理论的核心问题：求临界指数和标度律，阐明相变普适类的根源。 • 最直接的方法？ 求配分函数！因为配分函数包含了统计平衡系统的几乎全部热力学信息。 遗憾的是，除了理想气体和少数几个有相互作用的气体，严格求解配分函数十分困难！ • 朗道平均场理论？ 可用来求临界指数和标度律，但结果多数情况下与实验结果不符！它只 对 的系统适用。而且有两个缺陷 （1）它假设自由能是序参量的解析函数，于是可用序参 量的幂级数来展开，但这与临界点附近热力学量有奇异性看似是矛盾的；（2 ）它忽略了涨落， 但涨落在发生相变时是很重要的。 • 标度理论？ 认为自由能可写为广义齐次函数，是一个形式理论，只可以求出标度律，但不 能求出临界指数的值！ • 数学上的一些严格/近似方法 只针对一些具体的系统求解，不能一般的处理求临界指数的问 题。 出路？考虑系统在相变点附近的对称性！不去求配分函数，而是去寻找保持系统不变的对称变 换！（由于系统在这时有标度不变性）普适的临界指数应该对对称性的性质给出描述（普适类 的根源）。 这些对称变换的集合形成了一个半群，即重整化群。 10.2 卡丹诺夫变换，块自旋 由于系统在相变点附近有标度不变性，为了考察对称变换的性质，我们将改变观看原系 统的（尺度）大小。 唯一相关的尺度是关联长度ξ。系统的临界性质于是不依赖于系统在短距离内的详细细节， 只依赖于长程涨落。因此我们可以采用粗粒化(coarse graining)技术把短距离内的细节平 均掉。由于系统的最小尺寸为晶格常数 ，我们知道当 为常数时，做这样的尺 度变化不会改变系统的性质！ 由此我们引入块自旋变换 （卡丹诺夫变换）：在临界点附近，重要的是大块内的平均自 旋而不是格点上的单个自旋，因此可以用只含块自旋的有效哈密顿量来描述系统！ 以Ising模型为例，（格点）哈密顿量为 把晶格分为 大小的单元块，定义块自 旋 ，它可写为原来格点的平均： 变换后新的哈密顿量为： 这就保持了对称性，只需 显然还有 这么做的一些问题：一般而言系统的哈密顿量可能会发生改变（如果不是仅有最近邻相互作 用的话），但我们以后会看到这些多余的耦合不会改变临界指数。 和标度理论的关系： （1）系统自由能：其奇异部分在变换前后有： 为单个自由度的自由能。 令 即得 ，这即是我们前面讨论过的广义齐次函数。 （2 ）关联函数：块自旋关联函数可定义为（两点距离为 ）： 由 易知 带入到关联函数定义式有： 这即是我们前面讨论过的广义齐次函数。一般地，有 有限尺度标度(finite-size scaling)理论 这里我们考虑一种特别情形，即系统尺度 有限时(Lꞌ是系统实际线度大小，是晶格常 数)在临界点附近的性质。这种情形常见于我们对系统进行Monte Carlo模拟时。 这时系统自由能是含L的解析函数，但当 时其某阶导数可能出现奇异性。当L有限时，我 们仍然可以把可能出现奇异性的、有自相似性的部分称为自由能的奇异部分。保持系统实际线 度Lꞌ不变，我们进行块自旋变换。和前面讨论类似，单个自由度的自由能的奇异部分变换为： 这里我们也可以认为 热力学极限对应于 的情形， 是相变的临界 点。为简单起见，我们下面仅讨论外场h=0的情形。由标度理论，取 我们有磁化率： 其中 是无限大系统在临界点附近的关联长度。类似对比热我们也有： 有限尺度下磁化率χ和比热C随温度的变化： • 当 时，关联长度感觉不到系统边界，有限系统的行为和无限系统类似: • 当 时，有限系统的行为开始偏离无限系统，有限尺度效应出现； • 对更小的t，有限系统行为不由临界点确定。由于自由能是解析函数