[理学]3数学期望.ppt

其大小反映了 的离差. 的大小也反映了 是随机变量 也是随机变量. 与其均值 的差, 称为随机变量 称为随机变量X的方差. 与其均值的偏离程度. 随机变量X 是随机变量X 与其均值EX 的距离， 也是随机变量. 是随机变量X 与其均值EX 的平均距离, X与其均值的偏离程度. 定义 设随机变量 的期望 存在, 称 为 的离差. 设 的离差 的期望为0. 即任一随机变量 是随机变量X 与其均值EX的距离. 是随机变量X 与其均值EX的 平均距离. 与其均值的偏离程度. 反映了 的取值 与其均值的偏离程度. 也反映了 的取值 并且 定义2.8 设 是随机变量, 期望 存在, 也存在, 称 为 的方差. 记作 或 即 称为 的标准差. 记作 例如 其他 方差的性质: 证 证 * §3.1 数学期望 例 解 平均每天的废品数为: 某厂检查了某工人100天 加工零件的情况. 发现该工人在100天中 有32天 有30天 每天出一件废品; 有17天每天出 有21天每天 出3件废品. 问: 该工人在100天中 加工的废品总数为 没出废品; 两件废品; 每天出几件废品? 一、离散型随机变量的数学期望 为了评价技术水平, 该工人平均 它是废品件数 加权平均. 与相应频率的乘积之和， 称为0,1,2, 3的以频率为权的 频率 分别称为 0,1,2,3的权. 0,1,2,3这四个数的权不同, 反映了0,1,2,3在 所占的比重不一样. 例 某厂检查了某工人100天 加工零件的情况. 发现该工人在100天中 有32天没出废品; 有30天 每天出一件废品; 有17天每天出 有21天 每天出3件废品. 问:该工人平均每天出几件废品? 两件废品; 平均每天的废品数为: 相加时, 假设该工人每天至多出3个废品, 因而平均废品数 出1个废品, 出2个废品, 出3个废品, 平均每天出废品数为 如果再检查他 另外100天的生产情况, 则他出0个、1个、2个、 3个废品的天数 与前面100天的情形不一定相同. 也不一定相同. 假如检查了他 天的生产情况, 设在 天中 有 天 出0个废品; 有 天 有 天 有 天 这 天出的废品总数为 当n充分大时, 接近每天出0个废品的概率 接近于每天出1个废品的概率 接近于 故平均每天出废品数为: 平均每天出废品数为 频率 每天出2个废品的概率 他平均每天出废品数为: 设 表示 该工人每天出废品的个数 数学期望. 称为X的 定义3.1 如果级数 记作 即级数 发散, 设离散型随机变量 的概率分布为: 绝对收敛, 则称该级数的值为 则称随机变量 随机变量 的数学期望, 即 如果级数 不绝对收敛, 的数学期望不存在. 说明: 此时, 的数学期望 记为 当 只取有限个值时, 必存在: 的数学期望 当 取无穷多个值时, 时 时 存在 绝对收敛 收敛 收敛, 此时, 当 只取有限个值时, 必存在: 的数学期望 当 取无穷多个值时, 时 时 存在 绝对收敛 收敛, 收敛 若 发散, 则即使 收敛, 也不存在. 例 若 服从0—1分布: 求 解 在掷骰子的试验中, 例 表示掷的点数, 求 解 例 的概率分布为： 讨论 是否存在 解 调和级数 发散, 由归一性, 也发散, EX不存在. 发散 收敛, 但 不存在. 设 二.连续型随机变量 定义3.2 说明: 的数学期望 设 是连续型随机变量, 如果 绝对收敛, 记作 则称此无穷积分的值为 数学期望, 即 随机 对连续型随机变量 存在 绝对收敛 收敛 此时, 收敛 若 发散, 则即使 收敛, 也不存在. 变量 的 均匀分布的数学期望 如候车时间. 例 上的均匀分布, 求 解 其它 随机变量取值区间的中点. 等于该 已知 的分布, 已知随机变量 离散型: 如 三、随机变量函数 的数学期望 如何求 ? 例 求 和 解 的数学期望. 已知随机变量 连续型: 设 是连续型随机变量, 解 其它 例 上的均匀分布, 解 其它 例 上的均匀分布, 证1 四、数学期望的性质 1.如果 是一个常数, 则 证2 对离散型随机变量 设 是任意实数， 为任意实函数 如果 均存在， 则 证2 对离散型随机变量 对连续型随机变量, 可类似证明. 例 解 已知随机变量 例 到电视塔顶层观光， 电梯于 每个整点的第5分钟、 第25分钟 和第55分钟 从底层 运行， 一游客在早八点 的第X分钟 到达底层侯梯处, 且 求该游客等候时间 的数学期望. 解 其它 设Y是游客的等候时间 (单位:分), 则 游客乘电梯从底层