[理学]4 第四讲 线性变换之二.pdf

矩阵分析与应用 第四讲 线性变换之二 信息与通信工程学院 吕旌阳 2011-9-28 本讲主要内容  线性变换在给定基下的矩阵  线性变换的矩阵表示  象与原象坐标间的关系  线性变换在不同基下矩阵之间的关系  线性变换的特征值与特征向量 2011-9-28 x , x , , x n n 设 1 2 n 是线性空间V 的一组基，T为V 的线性变换. 则对任意 x Vn 存在唯一的一组数 k ,k ,,k K , 使 x k x k x k x 1 2 n 1 1 2 2 n n 从而， T( x) k T( x ) k T( x ) k T( x ). 1 1 2 2 n n 由此知， 由T ( x ), T ( x ), , T ( x ) 完全确定. T ( x) 1 2 n 2011-9-28 设x , x ,, x 是线性空间V的一组基，T ,T 为 1 2 n 1 2 V 的线性变换，若 T ( x ) T ( x ), i 1,2, , n. 1 i 2 i 则 T T 1 2 证：对 x V , x k x k x k x 1 1 2 2 n n T x ＝k T x k T x k T x         1 1 1 1 2 1 2 n 1 n T x ＝k T x k T x k T x         2 1 2 1 2 2 2 n 2 n T x ＝T x 由已知，即得 1   2    T T 1 2 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 2011-9-28 设 x , x , , x 是线性空间V 的一组基，对V 中 1 2 n 任意n个向量  , ,, , 都存在线性变换T使 1 2