[理学]43 协方差和相关系数及矩-1.ppt

3）C是非负定矩阵； 对称阵 三、协方差矩阵的性质 例题10 作业 p114 3, 4 P118 1, 3 4, 6 一 、协方差及其性质 第三节 协方差、相关系数及矩 二、相关系数及其性质 三 、矩 特征中，最重要的就是本讲要讨论的 协方差和相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值， 方差则反映了随机变量相对于其均值的离散程度， 这对我们了解随机变量有一定的帮助， 随机变量 ， 但对于二维 我们除了关心 的期望和方差外， 还希望知道他们的关系， 在反映分量之间关系的数字 在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。 在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于 父亲的身高和其成年儿子身高的关系. 收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了 这里有两个变量： 一个是父亲的身高， 一个是成 年儿子身高. 为了研究二者关系. 英国统计学家皮尔逊 一张散点图. 从图上看出:父亲及其成年儿子身高有关系,但没有明确的函数关系. 类似的问题有： 受教育程度和收入有什么关系？ 高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？ 需要给出度量两变量的相互关系的指标. 为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题， E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} = E（XY）- E（X）E（Y) 若 X，Y相互独立，则 E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} =0 若 X，Y不相互独立，则E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 不一定等于零 于是 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}在一定程度上反映了X与Y的关 系，称之为X与Y的协方差 一 协方差的定义 1、定义：若 E{[X－E( X )][Y－E(Y )]} 存在，称 E{[X－E( X )][Y－E( Y )]} 为随机变量 X, Y 的协方差. 即 Cov ( X,Y )=E{[X－E( X )][Y－E( Y )]} 记做 Cov ( X,Y ) 大家由此体会协方差Covariance的由来 Cov ( X,Y )=E{[X－E( X )][Y－E( Y )]} (1). D(X)= cov(X,X )； (2). D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2Cov(X,Y ) D(X+Y) = E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} = D(X)+D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 说明 1. Cov( X,Y )＝ Cov( Y,X ) ； 2. Cov( aX, bY )＝ ab Cov( X,Y ), a,b是常数； 3. Cov( X1+X2 ，Y )＝ Cov( X1,Y )+Cov( X2,Y ). 二、协方差的性质 问题: Cov(X,C)=? Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 证明：由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov( X,Y )＝E(XY) －E(X)E(Y) 三. 计算公式： 若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) 常用上式计算相依随机变量和的方差. 四 方差与协方差的关系 思考题 Y=5X+6 D(X)=3 Cov(X,Y)=? Cov(X,Y)=Cov(X,5X+6) =5Cov(X,X)=15 (X,Y)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布 故 Cov(X, Y)=E (XY)－E (X) E(Y) = E (XY） 求 Cov(X, Y) . 解 因 例1 可以证明 X,Y 不独立 相互独立同分布，且其方差为 ，令 计算协方差 解 例2 设随机变量 但它还受X 与Y 本身度量单位的影响. Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化: 这就引入了相关系数 . 协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互 间的关系， 例如： 为随机变量X 和Y 的相关系数 . 定义: 设 D(X )0, D(Y )0, 称 在不致引起混淆时，记 为 . 相关系数及其性质 已知二维随机变量 的联合分布列为 求： ， 0.30 0.12 0.18 0.10 0.18 0.12 －1 1 -2 0 1 Y X