[理学]5-5微分数分教案.ppt

导数与微分 一、微分的概念 1、问题的提出 2、微分的定义 3、可微的条件 4、微分的几何意义 二、微分的计算 1、四则运算法则与基本初等函数微分公式 2、一阶微分形式的不变性 三、高阶微分 1.概念 2.高阶微分的计算 3. 高阶微分不具有形式不变性 四、微分在近似计算中的应用 1、计算函数增量的近似值 2、计算函数的近似值 3、误差估计 五、小结 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差. 定义： 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得? 办法:将误差确定在某一个范围内. 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差. 量y相对误差限为 间接测量误差 例3 解 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学. 导数与微分的联系: ★ ★ 导数与微分的区别: ★ 近似计算的基本公式 思考题 思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念. * §5.5 微分 一、微分的概念 二、微分的计算 三、高阶微分 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 复习，导数定义 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 因此希望用 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 定义 相应地函数的增量为 (微分的实质) 由定义知: 定理 证 (1) 必要性 (2) 充分性 例1 解 M N T ） 几何意义:(如图) P 微分算法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 基本初等函数的微分公式 由 函数和、差、积、商的微分法则 例2 解 例3 解 由复合函数求导法则，知 结论： 微分形式的不变性 　　用微分形式不变性是计算复合函数的 微分可以不漏、不乱、不易出错。 例4 解 例3 解 例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 定义： 即　 即　 二阶或二阶以上的微分，统称为高阶微分。 即　 由微分定义，   ③ 上述高阶微分公式又可写为： 注意： ① 上述计算总假定对应导数存在。 　 　 由一阶微分形式不变性知：  但对高阶微分 从而 故高阶微分不具有微分形式不变性。 例 解： 法1 于是 法2     错误  解法， 见几何意义 例1 解 例1 解 常用近似公式 证明 例2 解 * *