[理学]5章 向量空间.ppt

§5.2、子空间 教学目标 了解子空间的内涵并会判断一个子空间. 教学重点 子空间的定义及其判断. 教学难点 子空间的性质及其应用. 二、子空间的交与和 §5.3 向量的线性相关性(4课时) 教学目标 理解向量线性相关的定义及性质并能熟练判定一个向量组的线性相关性。 教学重点：向量线性相关的应用。 教学难点：向量线性相关的判断. 定义5.3.3 设 和 是向量空间 的两组个向量组。若每一个向量 都可以由 线性表示；而每一 也可以由向量 线性表示。则称两向量组等价。 定理5.3.2（替换定理）设向量组 ———（2） 线性无关，且每一 均可由向量组： ———（3） 线性表示，则 .并且必要时可以对（3）式新 编号，使得用 代替 后所得到 的向量组： ———（4） 与（3）等价。 证明： 时，因 线性无关，故 ，则存在一组不全为零的数 使得 = 。不妨设 ，则 可由 线性表示。则 （3）等价。 现假设 并且定理对于（2）中含有 个向量的情形成立。看(2)中含 个向量的情形。由于 线性无关，所以由命题3知， 也线性无关。于是根据归纳法的假设， ，并且可以认为，用 代替（3）中前 个向量，得到 一个与（3）等价的向量组： ——（5） 由于 可以由（3）线性表示，所以由命6.3.2， 它也可以由与（3）等价的向量组（5）线性表 示。因此有 ———（6） 如果所有的 都等于零，那么（6）式变为 这就是说， 可以由 线性表示，矛盾。因此至少有一个 。这就证明了 ，从而 。适当的 对编号，不妨假定 ，于是 这就是说， 可以由向量组（4）线性表示。而向量组（5）除 外，其余每一个向量都在向量组（4）中出现，因此它们都可以由（4）线性表示。这样，（5）的每一个向量都可以由（4）线性表示，另一方面，（4）中除 外，其余每一个向量都在向量组（5）中出现，因此它们都可以由（5）线性表示。而由等式（6）可知， 也可以由（5）线性表示。 因此，（4）的每一个向量都可以由（5）线性表示。这就证明了（4）与（5）等价，而由归纳假设知，（5）与（3）等价，所以（4）与（3）等价。 推论5.3.3 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。 设 是向量空间的一组不全为零的向量。那么我们可以从中选出这样一个线性无关的部分向量组 ，使得 首先线性无关，而再添加原向量组的任何一个向量就线性相关。于是向量组 中每一个向量都可以由 线性表示。 §5.4基与维数 教学目标 了解向量空间的基和维数的定义，会求简单向量空间的基和维数。 教学重点 掌握基和维数有关概念及性质。 教学难点 向量空间的基和维数的应用。 仍是 的一个线性组合。因此， 的一切线性组合作成 的一个子空间。这个子空间叫做由 所生成的子空间，并且用符号 表示。向量 叫做这个子空间的一组生成元 。