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矩阵分析与应用 第六讲 Jordan标准型 信息与通信工程学院 吕旌阳 本讲主要内容  λ－矩阵的概念  若当(Jordan)标准形  欧式空间 2010-12-29 2 引入 由第五讲知，n维线性空间V 的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形T 有n个线性无关的特征向量 . T 的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换 的矩阵能化简成什么形状. 2010-12-29 3 一、λ－矩阵的概念 定义： P [] 设K是一个数域， 是一个文字， 是多项式环，   P [] 若矩阵A 的元素是 的多项式，即 的元素，则 称A为 ―矩阵，并把A写成 A(). 注： ① K P [], ∴ 数域K上的矩阵—数字矩阵也 是  ―矩阵. 2010-12-29 4  ② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同. n n  | A () |, ③ 对于 的 ―矩阵，同样有行列式  它是一个 的多项式，且有 | A ()B () | | A () || B () | . A(),B ()  这里 为同级 ―矩阵.  ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念.   ―矩阵的各级子式是 的多项式. 2010-12-29 5 定义：  A () r (r 1) 若 ―矩阵 中有一个 级子式 不为零，而所有r 1 级的子式（若有的话）皆为零， 则称A () 的秩为r . 零矩阵的秩规定为0 . 2010-12-29 6 λ－矩阵的初等变换 λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行 （列）互换位置； r r c c 行变换： i j 列变换： i j ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数k ； 行变换： kr 列变换： kci i