[理学]61+62 元素法+几何应用_修改.ppt

第六章 第二节 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例4. 求由摆线 摆线 例5. 求抛物线 极坐标与直角坐标的转化 阿基米德螺线 例6. 计算阿基米德螺线 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 二、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例9. 计算摆线 星形线(内摆线的一种) 例10. 求阿基米德螺线 三、已知平行截面面积函数的立体体积 例11. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 注 内容小结 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一拱 的弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 或 弧 长 : 所围面积 : 轨迹 : 半径为 半径为 a 的定圆滚动时, 其上 定点 M 的轨迹即为星形线 的动圆圆周沿 返回 相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 注： 返回 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, 1.已知截面面积的立体体积 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 2. 旋转体的体积(volume of body) 圆锥 （2） 圆柱 （1） x y o 旋转体的体积为 解 直线 方程为 解 注意上下限 ! 注 分部积分 (利用“偶倍奇零”) 柱壳法 因此，该立体体积为 利用这个公式，可知上例中 注 偶函数 奇函数 注 练习2： 解 法一 因此 法二 解 体积元素为 * * * * 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的应用 第六章 O x y a b y?f (x) f(x)dx?dA(x) 表示曲边梯形的面积A(x)的微分。 x 注意： 以区间 [a, b]为底，以曲线y=f(x)?0为顶的曲边梯形的面积为 分析：f(x)dx是什么？ 复习： 第一节 定积分的元素法 O x y a b y?f (x) 以区间 [a, b]为底，以曲线y=f(x)?0为顶的曲边梯形的面积为 表示曲边梯形的面积A(x)的微分; x 复习： 分析：f(x)dx是什么？ f(x)dx称为曲边梯形的面积元素。 表示点x处，以f(x)为高、以dx为宽的矩形的面积; 表示是以dx为宽的曲边梯形面积DA的近似值。 x+dx 曲边梯形的面积就以面积元素f(x)dx为被积表达式，以[a, b]为积分区间的定积分。 定积分的元素法： 一般情况下，为求某一量U，先求出这一量所依赖的区间[a, b]，再求这一量的元素u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以[a, b]为积分区间求定积分即得 这种方法称为微元法(或元素法)。 元素法的一般步骤(三步法) 采用微元法，须注意如下两点： （1）所求量 关于公共区间必须是代数可加的； （2）要正确给出 的近似表达式. 注 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六章 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A , 一、 平面图形的面积 一般地，由两条连续曲线y=f (x), y=g(x)以及直 线x=a, x=b所围成的平面图形面积为 x 类似地，我们也可以求由直线y= c, y = d与 连续曲线 与 所围的