[理学]61定积分的几何应用.ppt

例6 证明正弦线 的弧长等 解 于椭圆 的周长. 设正弦线的弧长为 则 设椭圆的周长为 则 解 设正弦线的弧长为 则 设椭圆的周长为 则 解 设正弦线的弧长为 则 设椭圆的周长为 则 故原结论成立. 利用椭圆的对称性 例7 求极坐标系下 解 曲线 的长. 例8 求心形线 解 的全长. 如图, 此心形线关于极轴对称. 1. 计算曲线 的弧长 2. 求阿基米德螺线 上相应于 从 0 到 的弧长 . 课堂练习 1. 计算曲线 的弧长 解 2. 求阿基米德螺线 上相应于 从 0 到 的弧长 . 解 弧长元素： 所求弧长： * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例2 解 计算则由椭圆 围成的平面图形 绕 轴旋转而成的旋转椭球体的体积. 故所求旋转椭球体的体积为 例2 解 计算则由椭圆 围成的平面图形 绕 轴旋转而成的旋转椭球体的体积. 故所求旋转椭球体的体积为 特别地, 当 时, 可得半径为 的球体的体积 例3 求星形线 所围的图形 绕 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求体积: 体积微元 : 例4 所围的图形 解 体积微元: 所求体积: 求曲线 旋转而成旋转体的体积. 绕 轴 解 体积元素为 解 0 1 x y 补充 利用这个公式，可知上例中 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 立体体积 3、平行截面面积已知的立体的体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 例2 解 求以半径为 的圆为底、 平行且等于底圆直径 的线段为顶、 高为 的正劈锥体的体积. 取底圆所在的平面为 平面, 圆心 为原点, 并使 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的 方程为 轴上的点 过 作垂直于 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为 于是所求正劈锥体的体积为 例2 解 求以半径为 的圆为底、 平行且等于底圆直径 的线段为顶、 高为 的正劈锥体的体积. 这截面的面积为 于是所求正劈锥体的体积为 例2 解 求以半径为 的圆为底、 平行且等于底圆直径 的线段为顶、 高为 的正劈锥体的体积. 这截面的面积为 于是所求正劈锥体的体积为 即正劈锥体的体积 等于同底同高的圆柱体体积的一 半. 1. 求由曲线 所围成的图形 分别 绕 轴和 轴旋转而成的旋转体的体积 . 2. 求由曲线 与直线 绕 旋转一周所生成 的旋转体的体积 . 所围成的图形 及 课堂练习 1. 求由曲线 所围成的图形 分别 绕 轴和 轴旋转而成的旋转体的体积 . 解 画出草图， 解得交点为 及 于是， 所求绕 轴旋转而成的旋转体的体积 并由方程组 1. 求由曲线 所围成的图形 分别 绕 轴和 轴旋转而成的旋转体的体积 . 解 于是， 所求绕 轴旋转而成的旋转体的体积 1. 求由曲线 所围成的图形 分别 绕 轴和 轴旋转而成的旋转体的体积 . 解 于是， 所求绕 轴旋转而成的 旋转体的体积 所求绕 轴旋转而成的 旋转体的体积 2. 求由曲线 与直线 及 所围成的图形 绕 旋转一周所生成的 旋转体的体积 . 解 画出草图， 选 为积分变量， 体积微元为 所求体积为 旋转， 绕 2. 求由曲线 与直线 及 所围成的图形 绕 旋转一周所生成的 旋转体的体积 . 解 所求体积为 2. 求由曲线 与直线 及 所围成的图形 绕 旋转一周所生成的 旋转体的体积 . 解 所求体积为 ①. 平面曲线弧长的概念 设曲线弧的弧长为 在弧上插入分点 定义 其中 ②. 求弧长的公式 (1) 直角坐标系情形 4、 平面曲线弧长的概念 参数方程情形 设曲线弧为 其中 在 上具有连续导数. 弧长 (2) 参数方程情形 (3) 极坐标系情形 例1 弧的长度. 解 所求弧长: 弧长微元: 相应于 从 到 的一段 计算曲线 上 例2 解 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 如图, 由于对称性, 要计算 弧长为相应于 一段曲线弧长的两倍. 弧长微元: 适当选取坐标系 后, 悬链线的方程为 其中 为常数. 悬链线上 从 到 的 下 计算 与 之间一段弧的长度. 介于 例2 解 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 弧长微元: 适当选取坐标系 后, 悬链线的方程为 其中 为常数. 悬链线上 下 计算 与 之间一段弧的长度. 介于 例2 解 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 弧长微元: 适当选取坐标系 后, 悬链线的方程为 其中 为常数. 悬链线上 下 计算 与 之间一段弧的长度. 介于 故所求弧长为 例3 解 求圆 的周长. 如图, 将圆的方程化为参数方程