[理学]6空间解析几何及向量代数.ppt

（三）结论补充 二、归类解析 （一）向量代数 （二）空间平面与直线 （三）二次曲面与其他问题 三、同步测试测试6-1 测试6-2 例6-5 已知?p? =2, ?q? =3, (p ? q)=?/3, 求以A=3p-4q 和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长. 解 ?A? 2=A?A=(3p-4q)?(3p-4q) =9 ?p? 2-24p?q +16 ?q? 2 ?B? 2=B?B=(p+2q)?(p+2q) 故 设周长为L, 则 =9×22 -24×2×3×cos(?/3)+16×32 =108. = ?p? 2+4p?q +4?q? 2 =22 + 4×32 +4×2×3cos (?/3) = 52. 例6-6 证明恒等式[(a+b) ?(b+c)] ·(c+a)=2 (a ?b)·c. 证 [(a+b) ?(b+c)] ·(c+a) = (a?b + a?c + b?b + b?c) ·(c+a) = (a?b) · c + (a?b) · a + (a?c) · c + (a?c) · a + (b?c) · c + (b?c) · a = 2(a?b) · c 例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于 一点. A E F B C H D 证 作?ABC, 如图所示. AD?BC, BE?AC, AD与BE交于点H, 连接CH并延长交AB于F. 只要证明CF?AB即可. 由于AD?BC, 从而AH ?BC, 有AH?BC=0 同理, BH?AC=0, 于是 CH ? AB=(CA+AH) ?(AH+HB) 故CH?AB, 从而CF?AB. = CA ? AH+CA ? HB+AH ? AH+AH ? HB = AH ?(CA+AH+HB) =AH ? CB=0 例6-8 求通过直线 的平面方程. , 且平行于直线 解 设所求平面的法向量为n, 则 而M0(1,-2,-3)是平面上的一点, 故所求平面方程为 2(x-1)+0(y+2)-(z-3)=0 故 2x-z-5=0. 例6-9 经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线 作一平面, 使之与平面2x-y+5z=0垂直. 解 为交线方程, 分别令z=0和x=0, 得到交线上的两点 两交点连线的方向向量为 平面2x-y+5z=0的法向量为 n1=2i-j+5k. 设所求平面的法向量为n, 则 所求平面为 , 即7x+14y+5=0. 例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0 所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面, 其中的一 个经过点(4, -3, 1). 解 由已知两平面决定的平面束方程为 2x + y - 3z + 2 + ?(5x + 5y - 4z + 3)=0 经过点(4, -3, 1)的平面应满足条件 2×4+1×(-3) - 3×1+2+ ?[5×4+5×(-3)- 4×1+3=0, 即?=1. 故过点(4, -3, 1)的所求平面方程为3x+4y-z+1=0. 另一平面也在平面束内, 故 (2+5?)x+(1+5?)y-(3+4?)z+(2+3?)=0 应满足条件 (2+5?)×3+(1+5?)×4+(-3-4?)(-1)=0, . 所求的另一平面方程为x-2y-5z+3=0. 例6-11 一平面通过两直线L1: 求此平面方程. 的公垂线L, 且平行于向量s=(1, 0, 1), 解 已知两直线的方向向量为s1=(1, 2, 1), s2=(1, 3, 2), 令s3=s1?s2, 则s3=(1, -1, 1). 设所求平面的法向量为n, 则应有n=s3?s, 计算可得n=(1, 2, 1). 下面求公垂线L上的一点. 设此公垂线与L1, L2分别 交于A(t+1, 2t-2, t+5)和B(?, 3?-3, 2?-1), 则AB//s3, 从而, 解出t=6, ?=5. 故点A为(7, 10, 11). 所求平面方程为 (x-7)+2(y-10)+(z-11)=0, 整理得 x+2y+z+8=0. 例6-12 在过直线 , 的所有平面中, 求一平面?, 使原点到?的距离最长. 解 平面2x+y+z=0过原点, 也过直线L, 它不是所求的 平面. 故可设过L的平面束方程为 (x+y+z+1)+ ?(2x+y+z)=0. 即 (1+2?)x+(1+?)y-(1+?