[理学]77 幂级数与Taylor级数小结.ppt

Example 7. Solution. Solution. 收敛区间(-1,1), * Chapter 7(7) 幂级数与Taylor级数小结 一. 内容小结 (一) 幂级数 1. 定义 2.阿贝尔(Abel)定理: 3. 幂级数的收敛半径与收敛域 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域为一个区间: 规定 4. 收敛半径与收敛域的求法 (1) 标准幂级数 注意: 若缺项, 则用比值法. (2) 一般幂级数 方法 1. (2)由标准幂级数收敛半径的求法可得： 端点情况另讨论. 方法 2. (用比值法讨论) 5. 幂级数的性质 加减法 乘法 (其中 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 连续性 可导性 (收敛半径不变) 可积性 (收敛半径不变) (二) Taylor级数 1. 定义 函数 f (x) 的幂级数展开式是唯一的. 2. 展开的方法 直接展开法 间接展开法 利用已知的函数的展开式，根据幂级数展开式的唯一 性，通过适当的变量替换、四则运算、复合及微分、 积分等将一个函数展开成幂级数。 常用的展开式有： (三) Fourier级数 1. 基本概念 定义1. 定义2. 定义3. 为 f (x) 的Fourier系数. 具有Fourier系数的三角级数: 2. 收敛定理 3. 奇偶函数的Fourier级数 4. 在任意区间[?l, l]上的Fourier级数 设f(x)是以2l为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件, 则有 则有 5. 在[0,?]或[0, l]上的非周期函数的Fourier级数 首先补充函数在[??,0]或[? l,0]上的定义，使其在整个 [??,?]或[? l, l]上为奇或偶函数，再作周期延拓。可分 别展为正弦级数或余弦级数。 二. 题型小结 1. 求幂级数的收敛半径与收敛域 Example 1. Solution. 收敛. 绝对收敛. Example 2. Solution. 发散. 发散. Example 3. Solution. 方法一 方法二 由比值法得， Solution. 缺少偶次幂的项 级数绝对收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛域为 2.求幂级数的和函数 方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数). Example 5. Solution. Example 6. Solution.