[理学]7_2二重积分的计算.ppt

解： 解： 例5. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 交换积分顺序 提示: 积分域如图 思考与练习 三、二重积分的换元法 例7、 解： 基本要求： 变换后定限简便，求积容易． 内容小结 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 (2) 一般换元公式 且 则 极坐标系情形: 若积分区域为 在变换 下 (3) 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 (区域对称性、函数奇偶性) 备用题 给定 改变积分的次序. 练 习 题 1 练 习 题 2 练习题1答案 练习题2答案 * * * 7.2 二重积分的计算 *三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第七章 曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 一、利用直角坐标计算二重积分 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 例1. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 例2. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例3. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 计算公式： ［Y－型］ ［X－型］ 注意（选择积分次序的依据）： (1)被积函数 f (x,y) 易积或可积； (2)积分区域 D 不分块或少分块. 2.定限 (1) 依题确定积分区域的类型； (2) 投影找区间：x型区域向x轴投影，y型向y轴投影； (3) 穿刺找高度 3.表为二次积分并计算 计算步骤： 1.画出区域D 解： 解： 积分区域如图 解： 积分区域如图 练习. 交换下列积分顺序 常用技巧：．利用对称性算积分 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 例6. 计算 其中， 例7. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 思考题： 思考题解答： 1、利用极坐标系计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 解： 解： 7.2 二重积分的计算 * * *